Продолжая исследование матричных представлений гиперкомплексных чисел, можно обнаружить, что определители матриц связаны между собой соотношением, аналогичным соотношению для модулей.
А именно: модуль произведения равен произведению модулей. Для матриц выполняется практически то же самое: определитель произведения равен произведению определителей. И, хотя матричное представление октав и неполноценно в отношении правил коммутирования, это соотношение выполняется и для них, а именно: определитель матричного представления произведения октав равен произведению определителей матричных представлений множимых.
Но есть и отличия между определителями и модулями.
Для определенности, поскольку свойства аналогичны, но определители матричных представлений являются полиномами, назовем их полиномиальными модулями, или полимодулями.
К основному отличию можно отнести то, что для вычисления модуля нужно знать как вычислить алгебраически сопряженный элемент алгебры, взять их произведение и, полагая что результат равен квадрату модуля, получить значение самого модуля взятием положительного квадратного корня. Если размерность числа имеет физические единицы (представлена физической размерностью), например метры, то размерность модуля совпадает с ней, это также метры.
В случае же с полимодулем не вычисляется алгебраически сопряженный элемент алгебры, а вычисляется определитель матричного представления исходного числа. В результате получаем полином порядка $n$, где $n$ - число компонент числа. Например, для комплексных и паракомплексных чисел это полином 2-го порядка, для кватернионов и бикомплексных чисел - полином 4-го порядка, а для октав и бикватернионов это полином 8-го порядка.
Другим отличием является то, что полимодуль, несмотря на четную степень полинома, может быть отрицательной величиной. В случае же произведения числа на алгебраически ему сопряженное ожидается квадрат действительного числа, а эта величина не должна быть отрицательной. Но у же паракомплексные числа допускают произведение числа на ему алгебраически сопряженное быть отрицательным.
Полимодули гиперкомплексных алгебр при этом более точно соответствуют произведению числа на ему сопряженное число. Для рассмотреннных гиперкомплексных алгебр выполняется общее правило: значение полимодуля есть произведение числа на ему алгебраически сопряженное в натуральной степени двойки. Если через $P(x)$ обозначить полимодуль числа $x$, то $$ P(x)=(x\overline{x})^{2^n} $$ где $n$ = 0, 1, 2, ... При этом $n$ зависит от выбранной алгебры.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
А именно: модуль произведения равен произведению модулей. Для матриц выполняется практически то же самое: определитель произведения равен произведению определителей. И, хотя матричное представление октав и неполноценно в отношении правил коммутирования, это соотношение выполняется и для них, а именно: определитель матричного представления произведения октав равен произведению определителей матричных представлений множимых.
Но есть и отличия между определителями и модулями.
Для определенности, поскольку свойства аналогичны, но определители матричных представлений являются полиномами, назовем их полиномиальными модулями, или полимодулями.
К основному отличию можно отнести то, что для вычисления модуля нужно знать как вычислить алгебраически сопряженный элемент алгебры, взять их произведение и, полагая что результат равен квадрату модуля, получить значение самого модуля взятием положительного квадратного корня. Если размерность числа имеет физические единицы (представлена физической размерностью), например метры, то размерность модуля совпадает с ней, это также метры.
В случае же с полимодулем не вычисляется алгебраически сопряженный элемент алгебры, а вычисляется определитель матричного представления исходного числа. В результате получаем полином порядка $n$, где $n$ - число компонент числа. Например, для комплексных и паракомплексных чисел это полином 2-го порядка, для кватернионов и бикомплексных чисел - полином 4-го порядка, а для октав и бикватернионов это полином 8-го порядка.
Другим отличием является то, что полимодуль, несмотря на четную степень полинома, может быть отрицательной величиной. В случае же произведения числа на алгебраически ему сопряженное ожидается квадрат действительного числа, а эта величина не должна быть отрицательной. Но у же паракомплексные числа допускают произведение числа на ему алгебраически сопряженное быть отрицательным.
Полимодули гиперкомплексных алгебр при этом более точно соответствуют произведению числа на ему сопряженное число. Для рассмотреннных гиперкомплексных алгебр выполняется общее правило: значение полимодуля есть произведение числа на ему алгебраически сопряженное в натуральной степени двойки. Если через $P(x)$ обозначить полимодуль числа $x$, то $$ P(x)=(x\overline{x})^{2^n} $$ где $n$ = 0, 1, 2, ... При этом $n$ зависит от выбранной алгебры.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий