И для полимодулей и для модулей гиперкомплексных чисел выполняется соотношение: их значение для произведения равно произведению их значений по отдельности.
Если $M(x)$ - модуль, а $P(x)$ - полимодуль числа $x$, то верно равенство: $$ M(xy)=M(x)M(y) $$ $$ P(xy)=P(x)P(y) $$ Возникает вопрос: это одинаковые функции, это несколько никак не связанных между собой функций, или это зависимые друг от друга функции?
Далее будем рассматривать числа гиперкомплексной алгебры, которые могут быть представлены экспоненциально: $$ x=e^y $$ Для таких форм известно, что $$ |x|=e^{y_0} $$ или: значение модуля числа $x$ есть экспонента от действительной части числа $y$.
Соответствующее выражение для полимодулей рассмотрим, получив матричные представления чисел $x$ и $y$: $$ X=e^Y $$ где $X$ и $Y$ есть матричные представления чисел $x$ и $y$.
Поскольку полимодуль числа $x$ есть определитель соответствующей ему матрицы $X$, то нас интересует выражение $$ P(X) = \det(X) = \det e^Y $$ У определителя матричной экспоненты есть свойство: $$ \det e^Y = e^{tr(Y)} $$ Во всех матричных представлениях гиперкомплексных алгебр на главной диагонали находятся коэффициенты действительной компоненты числа. Значения диагонали отвечают на вопрос: на что нужно умножить соответствующую и при этом любую мнимую единицу, чтобы получить её же. Во всех гиперкомплексных алгебрах это действительная единица. Соответственно, из этого следует, что на главной диагонали матричного представления гиперкомплексных чисел стоит действительная часть $y_0$.
Подставляя это значение в выражение $$ tr(Y) $$ получим что сумма коэффициентов главной диагонали равна $$ tr(Y)=ny_0 $$ где $n$ - количество компонент в гиперкомплексном числе. Для действительных чисел это 1, для комплексных это 2, для бикомплексных и кватернионов это 4, и так далее.
Сопоставив выражение для модуля и полимодуля в случае если число $x$ имеет экспоненциальное представление, получим: $$ N(x)=e^{y_0} $$ $$ P(x)=e^{ny_0} $$ Соответственно, получаем что полимодуль и модуль числа связаны соотношением: $$ P(x)=M^n(x) $$ Это, напомню, для чисел $x$, имеющих экспоненциальное представление. Для других, видимо, соответствие модуля и полимодуля может быть уточнено через их вторые степени: $$ P^2(x)=M^{2n}(x) $$ Или еще каким-то способом. Пока этот вопрос отношу к недостаточно определенному.
К примеру, речь идет об отрицательных действительных числах. Например, число $$ x=-2 $$ не может быть представлено экспоненциально, используя числа действительной алгебры. Для таких чисел полимодуль равен: $$ p(-2)=\det \left( \begin{array}{c} -2 \end{array} \right)=-2 $$ Здесь берется определитель от матрицы из одной строки и одной колонки, матрица 1x1.
При этом для отрицательных действительных чисел действует правило что модуль равен значению числа без знака минус. Соответственно: $$ M(-2)=2 $$ И, если использовать соотношение $$ P^2(x)=M^{2n}(x) $$ то оно выполняется: $$ n=1 $$ $$ P^2(x)=(-2)^2=4 $$ $$ M^{2n}(x)=2^2=4 $$ Также проблема сопутствует и другим алгебрам, в которых модуль по определению ожидается положительным числом, а полимодуль может быть вычислен как отрицательное. Хорошей иллюстрацией может быть число алгебры паракомплексных чисел: $$ x=x_0+ix_1 $$ где $$ i^2=1 $$ $$ |x_1|>|x_0| $$ Для таких чисел, например $$ x=1+i2 $$ значение полимодуля отрицательно: $$ P(x)=1^2-2^2=-3 $$ В то же время для таких чисел квадрат модуля должен быть отрицательным: $$ x\overline{x}=(1+i2)(1-i2)=-2 $$ И это же значение должно быть равно квадрату модуля: $$ |x|^2=x\overline{x}=-3 $$ И, если для таких чисел понятие полимодуля применимо и продолжает работать, понятие модуля ставится под вопрос или требует для их соотношения применять уже четвертую степень. $$ P^4(x)=M^{4n}(x) $$ Это правило уже объединяет ситуации отрицательный полимодуль - положительный квадрат модуля и отрицательный полимодуль - отрицательный квадрат модуля.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Если $M(x)$ - модуль, а $P(x)$ - полимодуль числа $x$, то верно равенство: $$ M(xy)=M(x)M(y) $$ $$ P(xy)=P(x)P(y) $$ Возникает вопрос: это одинаковые функции, это несколько никак не связанных между собой функций, или это зависимые друг от друга функции?
Далее будем рассматривать числа гиперкомплексной алгебры, которые могут быть представлены экспоненциально: $$ x=e^y $$ Для таких форм известно, что $$ |x|=e^{y_0} $$ или: значение модуля числа $x$ есть экспонента от действительной части числа $y$.
Соответствующее выражение для полимодулей рассмотрим, получив матричные представления чисел $x$ и $y$: $$ X=e^Y $$ где $X$ и $Y$ есть матричные представления чисел $x$ и $y$.
Поскольку полимодуль числа $x$ есть определитель соответствующей ему матрицы $X$, то нас интересует выражение $$ P(X) = \det(X) = \det e^Y $$ У определителя матричной экспоненты есть свойство: $$ \det e^Y = e^{tr(Y)} $$ Во всех матричных представлениях гиперкомплексных алгебр на главной диагонали находятся коэффициенты действительной компоненты числа. Значения диагонали отвечают на вопрос: на что нужно умножить соответствующую и при этом любую мнимую единицу, чтобы получить её же. Во всех гиперкомплексных алгебрах это действительная единица. Соответственно, из этого следует, что на главной диагонали матричного представления гиперкомплексных чисел стоит действительная часть $y_0$.
Подставляя это значение в выражение $$ tr(Y) $$ получим что сумма коэффициентов главной диагонали равна $$ tr(Y)=ny_0 $$ где $n$ - количество компонент в гиперкомплексном числе. Для действительных чисел это 1, для комплексных это 2, для бикомплексных и кватернионов это 4, и так далее.
Сопоставив выражение для модуля и полимодуля в случае если число $x$ имеет экспоненциальное представление, получим: $$ N(x)=e^{y_0} $$ $$ P(x)=e^{ny_0} $$ Соответственно, получаем что полимодуль и модуль числа связаны соотношением: $$ P(x)=M^n(x) $$ Это, напомню, для чисел $x$, имеющих экспоненциальное представление. Для других, видимо, соответствие модуля и полимодуля может быть уточнено через их вторые степени: $$ P^2(x)=M^{2n}(x) $$ Или еще каким-то способом. Пока этот вопрос отношу к недостаточно определенному.
К примеру, речь идет об отрицательных действительных числах. Например, число $$ x=-2 $$ не может быть представлено экспоненциально, используя числа действительной алгебры. Для таких чисел полимодуль равен: $$ p(-2)=\det \left( \begin{array}{c} -2 \end{array} \right)=-2 $$ Здесь берется определитель от матрицы из одной строки и одной колонки, матрица 1x1.
При этом для отрицательных действительных чисел действует правило что модуль равен значению числа без знака минус. Соответственно: $$ M(-2)=2 $$ И, если использовать соотношение $$ P^2(x)=M^{2n}(x) $$ то оно выполняется: $$ n=1 $$ $$ P^2(x)=(-2)^2=4 $$ $$ M^{2n}(x)=2^2=4 $$ Также проблема сопутствует и другим алгебрам, в которых модуль по определению ожидается положительным числом, а полимодуль может быть вычислен как отрицательное. Хорошей иллюстрацией может быть число алгебры паракомплексных чисел: $$ x=x_0+ix_1 $$ где $$ i^2=1 $$ $$ |x_1|>|x_0| $$ Для таких чисел, например $$ x=1+i2 $$ значение полимодуля отрицательно: $$ P(x)=1^2-2^2=-3 $$ В то же время для таких чисел квадрат модуля должен быть отрицательным: $$ x\overline{x}=(1+i2)(1-i2)=-2 $$ И это же значение должно быть равно квадрату модуля: $$ |x|^2=x\overline{x}=-3 $$ И, если для таких чисел понятие полимодуля применимо и продолжает работать, понятие модуля ставится под вопрос или требует для их соотношения применять уже четвертую степень. $$ P^4(x)=M^{4n}(x) $$ Это правило уже объединяет ситуации отрицательный полимодуль - положительный квадрат модуля и отрицательный полимодуль - отрицательный квадрат модуля.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий