Любопытным применением понятия полимодуля, матричного представления и их свойств может стать их приложение к тернарной алгебре. Эта алгебра вызывает споры на тему является ли она самостоятельной или изоморфна алгебре комплексных чисел.
С одной стороны, при определении алгебры предполагается, что её образующие единицы являются линейно независимыми, а с другой стороны они ведут себя как зависимые.
Напомним мнимые единицы тернарной алгебры 1, $i$, $j$ и их закон умножения: $$ ij=ji=1 $$ $$ ii=j $$ $$ jj=i $$ Используя закон произведения мнимых единиц, раскроем произведение двух чисел этой алгебры: $$ ax=(a_0+ia_1+ja_2)(x_0+ix_1+jx_2)= $$ $$ =a_0x_0+a_2x_1+a_1x_2+ $$ $$ +i(a_1x_0+a_0x_1+a_2x_2)+ $$ $$ +j(a_2x_0+a_1x_1+a_0x_2) $$ Соответственно, в матричной записи произведение $$ ax=b $$ будет выглядеть так: $$ \left( \begin{array}{ccc} a_0 & a_2 & a_1 \\ a_1 & a_0 & a_2 \\ a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_0\\ x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} b_0\\ b_1 \\ b_2 \end{array}\right) $$ Здесь матрица из коэффициентов $a_i$ задает матричное представление числа $a$ выбранной тернарной алгебры.
Если на комплексной плоскости окружность единичного радиуса разбить на 3 части, и значение $1+i0$ отвести под значение $1+i0+j0$ в тернарной алгебре, то значениям $e^{2\pi/3}$ и $e^{4\pi/3}$ сопоставятся соответственно значения $0+i1+j0$ и $0+i0+j1$.
Конечно, если окружность единичного радиуса делить не на 3 части, а на 4, 5, и т. д., то можно получить соответствующие $n$-кратные алгебры с аналогичным законом произведения мнимых единиц.
Так вот для тернарной алгебры, на которой мы пристально сфокусируем свое внимание, обращает на себя внимание операция транспонирования её матричного представления. Если для остальных алгебр эта операция аналогична операции скалярно-векторного сопряжения, то в случае тернарной алгебры транспонирование эквивалентно смене коэффициентов: $$ a_1 \rightarrow a_2 $$ $$ a_2 \rightarrow a_1 $$ Это вызывает подозрение, не выдается ли этим их взаимно сопряженный характер?
Продолжим рассмотрение свойств матричного представления тернарной алгебры и найдем её полимодуль: $$ \det \left( \begin{array}{ccc} a_0 & a_2 & a_1 \\ a_1 & a_0 & a_2 \\ a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right)= $$ $$ =(x_0+x_1+x_2)(x_2^2-x_1x_2-x_0x_2+x_1^2-x_0x_1+x_0^2) $$ Здесь правый множитель умножим и поделим на 2 и сгруппируем по парам: $$ \det A = (x_0+x_1+x_2)\frac{1}{2} (x_2-2x_1x_2+x_1^2+ $$ $$ +x_1^2-2x_0x_2+x_0^2+x_1-2x_0x_1+x_0^2) $$ Очевидно, что полимодуль факторизуется до выражения: $$ \det A=\frac{1}{2}(x_0+x_1+x_2) ((x_2-x_1)^2+(x_2-x_0)^2+(x_1-x_0)^2) $$ Вот эта величина и характеризует третью степень величины числа тернарной алгебры.
Этот полимодуль может быть равен нулю когда само число не равно нулю. Это выполняется когда либо $$ x_0+x_1+x_2=0 $$ либо когда $$ \left\{ \begin{array}{c} x_1=x_2\\ x_2=x_0\\ x1=x_0 \end{array} \right. \Rightarrow x_1=x_2=x_0 $$ Соответственно, если выполняются либо первое либо второе условие, то хотя само число не равно нулю его величина (полимодуль) равна нулю.
Некоторое уже привычное восприятие нуля следует из второго условия, что соответствует трем равным векторам направленным симметрично в разные стороны.
Но некоторую необычность добавляет трактовка первого условия: $$ x_0+x_1+x_2=0 $$ Если положить, к примеру, $x_0=1$, $x_2=1$, то $x_2=-2$. И на комплексной плоскости это соответствует ненулевому вектору. Но в тернарной алгебре его величина будет, увы, нулевой.
Также посмотрим из любопытства как выглядит обратный элемент в тернарной алгебре. Для этого возьмем обратную матрицу к матричному представлению числа: $$ X^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} x_0 & x_2 & x_1 \\ x_1 & x_0 & x_2 \\ x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right)^{-1} $$ Если обозначить полимодуль числа $$ P(x)=(x_0+x_1+x_2)(x_2^2-x_1x_2-x_0x_2+x_1^2-x_0x_1+x_0^2) $$ то в первой колонке обратной матрицы будут значения, соответствующие коэффициентам обратного числа: $$ (x^{-1})_0=\frac{x_0^2-x_1x_2}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_1=\frac{x_2^2-x_0x_1}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_2=\frac{x_1^2-x_0x_2}{P(x)} $$ Уже по закону произведения мнимых единиц единицы $i$ и $j$ выглядят как взаимно обратные величины. Учитывая, что их полимодули равны единице (их величины единица), то они также являются друг другу и алгебраически сопряженными.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
С одной стороны, при определении алгебры предполагается, что её образующие единицы являются линейно независимыми, а с другой стороны они ведут себя как зависимые.
Напомним мнимые единицы тернарной алгебры 1, $i$, $j$ и их закон умножения: $$ ij=ji=1 $$ $$ ii=j $$ $$ jj=i $$ Используя закон произведения мнимых единиц, раскроем произведение двух чисел этой алгебры: $$ ax=(a_0+ia_1+ja_2)(x_0+ix_1+jx_2)= $$ $$ =a_0x_0+a_2x_1+a_1x_2+ $$ $$ +i(a_1x_0+a_0x_1+a_2x_2)+ $$ $$ +j(a_2x_0+a_1x_1+a_0x_2) $$ Соответственно, в матричной записи произведение $$ ax=b $$ будет выглядеть так: $$ \left( \begin{array}{ccc} a_0 & a_2 & a_1 \\ a_1 & a_0 & a_2 \\ a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_0\\ x_1 \\ x_2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} b_0\\ b_1 \\ b_2 \end{array}\right) $$ Здесь матрица из коэффициентов $a_i$ задает матричное представление числа $a$ выбранной тернарной алгебры.
Если на комплексной плоскости окружность единичного радиуса разбить на 3 части, и значение $1+i0$ отвести под значение $1+i0+j0$ в тернарной алгебре, то значениям $e^{2\pi/3}$ и $e^{4\pi/3}$ сопоставятся соответственно значения $0+i1+j0$ и $0+i0+j1$.
Конечно, если окружность единичного радиуса делить не на 3 части, а на 4, 5, и т. д., то можно получить соответствующие $n$-кратные алгебры с аналогичным законом произведения мнимых единиц.
Так вот для тернарной алгебры, на которой мы пристально сфокусируем свое внимание, обращает на себя внимание операция транспонирования её матричного представления. Если для остальных алгебр эта операция аналогична операции скалярно-векторного сопряжения, то в случае тернарной алгебры транспонирование эквивалентно смене коэффициентов: $$ a_1 \rightarrow a_2 $$ $$ a_2 \rightarrow a_1 $$ Это вызывает подозрение, не выдается ли этим их взаимно сопряженный характер?
Продолжим рассмотрение свойств матричного представления тернарной алгебры и найдем её полимодуль: $$ \det \left( \begin{array}{ccc} a_0 & a_2 & a_1 \\ a_1 & a_0 & a_2 \\ a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right)= $$ $$ =(x_0+x_1+x_2)(x_2^2-x_1x_2-x_0x_2+x_1^2-x_0x_1+x_0^2) $$ Здесь правый множитель умножим и поделим на 2 и сгруппируем по парам: $$ \det A = (x_0+x_1+x_2)\frac{1}{2} (x_2-2x_1x_2+x_1^2+ $$ $$ +x_1^2-2x_0x_2+x_0^2+x_1-2x_0x_1+x_0^2) $$ Очевидно, что полимодуль факторизуется до выражения: $$ \det A=\frac{1}{2}(x_0+x_1+x_2) ((x_2-x_1)^2+(x_2-x_0)^2+(x_1-x_0)^2) $$ Вот эта величина и характеризует третью степень величины числа тернарной алгебры.
Этот полимодуль может быть равен нулю когда само число не равно нулю. Это выполняется когда либо $$ x_0+x_1+x_2=0 $$ либо когда $$ \left\{ \begin{array}{c} x_1=x_2\\ x_2=x_0\\ x1=x_0 \end{array} \right. \Rightarrow x_1=x_2=x_0 $$ Соответственно, если выполняются либо первое либо второе условие, то хотя само число не равно нулю его величина (полимодуль) равна нулю.
Некоторое уже привычное восприятие нуля следует из второго условия, что соответствует трем равным векторам направленным симметрично в разные стороны.
Но некоторую необычность добавляет трактовка первого условия: $$ x_0+x_1+x_2=0 $$ Если положить, к примеру, $x_0=1$, $x_2=1$, то $x_2=-2$. И на комплексной плоскости это соответствует ненулевому вектору. Но в тернарной алгебре его величина будет, увы, нулевой.
Также посмотрим из любопытства как выглядит обратный элемент в тернарной алгебре. Для этого возьмем обратную матрицу к матричному представлению числа: $$ X^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} x_0 & x_2 & x_1 \\ x_1 & x_0 & x_2 \\ x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right)^{-1} $$ Если обозначить полимодуль числа $$ P(x)=(x_0+x_1+x_2)(x_2^2-x_1x_2-x_0x_2+x_1^2-x_0x_1+x_0^2) $$ то в первой колонке обратной матрицы будут значения, соответствующие коэффициентам обратного числа: $$ (x^{-1})_0=\frac{x_0^2-x_1x_2}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_1=\frac{x_2^2-x_0x_1}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_2=\frac{x_1^2-x_0x_2}{P(x)} $$ Уже по закону произведения мнимых единиц единицы $i$ и $j$ выглядят как взаимно обратные величины. Учитывая, что их полимодули равны единице (их величины единица), то они также являются друг другу и алгебраически сопряженными.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий