При исследовании матричного представления гиперкомплексных чисел обратил на себя внимание один факт, а именно - чему соответствует транспонирование матричного представления.
Возьмем представление комплексных чисел: x0+ix1⇔(x0−x1x1x0) Транспонированию матрицы соответствует смена знаков у компонент при мнимых единицах: (x0−x1x1x0)T=(x0x1−x1x0)⇔x0−ix1 Возьмем представление кватерниона x=x0+ix1+jx2+kx3 x⇔(x0−x1−x2−x3x1x0−x3x2x2x3x0−x1x3−x2x1x0) Транспонированию матрицы соответствует смена знаков у мнимых единиц: (x0−x1−x2−x3x1x0−x3x2x2x3x0−x1x3−x2x1x0)T=(x0x1x2x3−x1x0x3−x2−x2−x3x0x1−x3x2−x1x0)⇔ x0−ix1−jx2−kx3 Возьмем матричное представление бикомплексных чисел: x=x0+Iix1+Ix2+ix3 Им соответствует матричное представление: x⇔(x0x1−x2−x3x1x0x3x2x2−x3x0−x1x3−x2−x1x0) В результате транспонирования этой матрицы получаем матрицу: (x0x1−x2−x3x1x0x3x2x2−x3x0−x1x3−x2−x1x0)T=(x0x1x2x3x1x0−x3−x2−x2x3x0−x1−x3x2−x1x0) Эта матрица соответствует смене знаков у мнимых единиц: xT=x0+Iix1−Ix2−ix3 Возьмем матричное представление бикватернионов: x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7 Им соответствует матричное представление: x⇔(x0x1x2x3−x4−x5−x6−x7x1x0−x7x6x5x4−x3x2x2x7x0−x5x6x3x4−x1x3−x6x5x0x7−x2x1x4x4−x5−x6−x7x0−x1−x2−x3x5−x4x3−x2−x1x0−x7x6x6−x3−x4x1−x2x7x0−x5x7x2−x1−x4−x3−x6x5x0) Опустим переписывание столь же громоздкой транспонированной матрицы, просто убедимся, что транспонированию её соответствует смена знаков у компонент: x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3−Ix4−ix5−jx6−kx7 У всех рассмотренных алгебр общим является то, что транспонированию их матричного представления соответствует скалярно-векторное сопряжение xT⇔¯x∗ где при скалярном сопряжении (x∗) знаки меняются у компонент, содержащих мнимую единицу I (можно назвать скалярной мнимой единицей). Скалярное сопряжение имеет свойство: (ab)∗=a∗b∗ При векторном сопряжении знаки меняются у компонент, содержащих векторные мнимые единицы i, j, k. Векторное сопряжение имеет свойство: ¯(ab)=¯b¯a Матричное представление паракомплексных чисел имеет вид: x⇔(x0x1x1x0) При транспонировании матрица не меняется и компоненты ей соответствующиего числа не меняют знаки. Чтобы паракомплексным числам соответствовало правило о соответствии транспонированию скалярно-векторного сопряжения нужно мнимую единицу паракомплексных чисел рассматривать как произведение двух мнимых единиц как в бикомплексных числах i↔Ii Причем рассматривать надо так, как будто бы в этой алгебре единицы I и i есть, но они всегда встречаются в произведении Ii и никогда по отдельности.
В случае с дуальными числами матрица представления имеет вид: x0+ωx1⇔(x00x1x0) Здесь правило о соответствии транспонированию скаларно-векторного сопряжения не работает. Возможно,что для дуальных мнимых единиц может существовать другое правило.
Само соответствие транспонирования матричного представления числа скалярно-векторному сопряжению не было выведено, а было найдено эмпирически. Я еще не знаю какой в этом соответствии смысл (полезное свойство), но факт в том, что оно (это соответствие) существует, по крайней мере для основных алгебр, основанных на эллиптических мнимых единицах.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Возьмем представление комплексных чисел: x0+ix1⇔(x0−x1x1x0) Транспонированию матрицы соответствует смена знаков у компонент при мнимых единицах: (x0−x1x1x0)T=(x0x1−x1x0)⇔x0−ix1 Возьмем представление кватерниона x=x0+ix1+jx2+kx3 x⇔(x0−x1−x2−x3x1x0−x3x2x2x3x0−x1x3−x2x1x0) Транспонированию матрицы соответствует смена знаков у мнимых единиц: (x0−x1−x2−x3x1x0−x3x2x2x3x0−x1x3−x2x1x0)T=(x0x1x2x3−x1x0x3−x2−x2−x3x0x1−x3x2−x1x0)⇔ x0−ix1−jx2−kx3 Возьмем матричное представление бикомплексных чисел: x=x0+Iix1+Ix2+ix3 Им соответствует матричное представление: x⇔(x0x1−x2−x3x1x0x3x2x2−x3x0−x1x3−x2−x1x0) В результате транспонирования этой матрицы получаем матрицу: (x0x1−x2−x3x1x0x3x2x2−x3x0−x1x3−x2−x1x0)T=(x0x1x2x3x1x0−x3−x2−x2x3x0−x1−x3x2−x1x0) Эта матрица соответствует смене знаков у мнимых единиц: xT=x0+Iix1−Ix2−ix3 Возьмем матричное представление бикватернионов: x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3+Ix4+ix5+jx6+kx7 Им соответствует матричное представление: x⇔(x0x1x2x3−x4−x5−x6−x7x1x0−x7x6x5x4−x3x2x2x7x0−x5x6x3x4−x1x3−x6x5x0x7−x2x1x4x4−x5−x6−x7x0−x1−x2−x3x5−x4x3−x2−x1x0−x7x6x6−x3−x4x1−x2x7x0−x5x7x2−x1−x4−x3−x6x5x0) Опустим переписывание столь же громоздкой транспонированной матрицы, просто убедимся, что транспонированию её соответствует смена знаков у компонент: x=x0+Iix1+Ijx2+Ikx3−Ix4−ix5−jx6−kx7 У всех рассмотренных алгебр общим является то, что транспонированию их матричного представления соответствует скалярно-векторное сопряжение xT⇔¯x∗ где при скалярном сопряжении (x∗) знаки меняются у компонент, содержащих мнимую единицу I (можно назвать скалярной мнимой единицей). Скалярное сопряжение имеет свойство: (ab)∗=a∗b∗ При векторном сопряжении знаки меняются у компонент, содержащих векторные мнимые единицы i, j, k. Векторное сопряжение имеет свойство: ¯(ab)=¯b¯a Матричное представление паракомплексных чисел имеет вид: x⇔(x0x1x1x0) При транспонировании матрица не меняется и компоненты ей соответствующиего числа не меняют знаки. Чтобы паракомплексным числам соответствовало правило о соответствии транспонированию скалярно-векторного сопряжения нужно мнимую единицу паракомплексных чисел рассматривать как произведение двух мнимых единиц как в бикомплексных числах i↔Ii Причем рассматривать надо так, как будто бы в этой алгебре единицы I и i есть, но они всегда встречаются в произведении Ii и никогда по отдельности.
В случае с дуальными числами матрица представления имеет вид: x0+ωx1⇔(x00x1x0) Здесь правило о соответствии транспонированию скаларно-векторного сопряжения не работает. Возможно,что для дуальных мнимых единиц может существовать другое правило.
Само соответствие транспонирования матричного представления числа скалярно-векторному сопряжению не было выведено, а было найдено эмпирически. Я еще не знаю какой в этом соответствии смысл (полезное свойство), но факт в том, что оно (это соответствие) существует, по крайней мере для основных алгебр, основанных на эллиптических мнимых единицах.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий