При исследовании матричного представления гиперкомплексных чисел обратил на себя внимание один факт, а именно - чему соответствует транспонирование матричного представления.
Возьмем представление комплексных чисел: $$ x_0 + i x_1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}x_0&-x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) $$ Транспонированию матрицы соответствует смена знаков у компонент при мнимых единицах: $$ \left(\begin{array}{rr}x_0&-x_1\\x_1&x_0\end{array}\right)^T= \left(\begin{array}{rr}x_0&x_1\\-x_1&x_0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_0 - i x_1 $$ Возьмем представление кватерниона $$ x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 $$ $$ x \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) $$ Транспонированию матрицы соответствует смена знаков у мнимых единиц: $$ \left( \begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right)^T= \left( \begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & x_3 & -x_2 \\ -x_2 & -x_3 & x_0 & x_1 \\ -x_3 & x_2 & -x_1 & x_0 \end{array} \right) \Leftrightarrow $$ $$ x_0-ix_1-jx_2-kx_3 $$ Возьмем матричное представление бикомплексных чисел: $$ x=x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3 $$ Им соответствует матричное представление: $$ x\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & -x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ В результате транспонирования этой матрицы получаем матрицу: $$ \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & -x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right)^T= \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & -x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ Эта матрица соответствует смене знаков у мнимых единиц: $$ x^T=x_0+Iix_1-Ix_2-ix_3 $$ Возьмем матричное представление бикватернионов: $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ Им соответствует матричное представление: $$ x\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrrrrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & -x_4 & -x_5 & -x_6 & -x_7 \\ x_1 & x_0 & -x_7 & x_6 & x_5 & x_4 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_7 & x_0 & -x_5 & x_6 & x_3 & x_4 & -x_1 \\ x_3 & -x_6 & x_5 & x_0 & x_7 & -x_2 & x_1 & x_4 \\ x_4 & -x_5 & -x_6 & -x_7 & x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_5 & -x_4 & x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 & -x_7 & x_6 \\ x_6 & -x_3 & -x_4 & x_1 & -x_2 & x_7 & x_0 & -x_5 \\ x_7 & x_2 & -x_1 & -x_4 & -x_3 & -x_6 & x_5 & x_0 \end{array} \right) $$ Опустим переписывание столь же громоздкой транспонированной матрицы, просто убедимся, что транспонированию её соответствует смена знаков у компонент: $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3-Ix_4-ix_5-jx_6-kx_7 $$ У всех рассмотренных алгебр общим является то, что транспонированию их матричного представления соответствует скалярно-векторное сопряжение $$ x^T\Leftrightarrow\overline{x}^* $$ где при скалярном сопряжении ($x^*$) знаки меняются у компонент, содержащих мнимую единицу $I$ (можно назвать скалярной мнимой единицей). Скалярное сопряжение имеет свойство: $$ (ab)^*=a^*b^* $$ При векторном сопряжении знаки меняются у компонент, содержащих векторные мнимые единицы $i$, $j$, $k$. Векторное сопряжение имеет свойство: $$ \overline{(ab)}=\overline{b}\overline{a} $$ Матричное представление паракомплексных чисел имеет вид: $$ x \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}x_0&x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) $$ При транспонировании матрица не меняется и компоненты ей соответствующиего числа не меняют знаки. Чтобы паракомплексным числам соответствовало правило о соответствии транспонированию скалярно-векторного сопряжения нужно мнимую единицу паракомплексных чисел рассматривать как произведение двух мнимых единиц как в бикомплексных числах $$ i \leftrightarrow Ii $$ Причем рассматривать надо так, как будто бы в этой алгебре единицы $I$ и $i$ есть, но они всегда встречаются в произведении $Ii$ и никогда по отдельности.
В случае с дуальными числами матрица представления имеет вид: $$ x_0 + \omega x_1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}x_0&0\\x_1&x_0\end{array}\right) $$ Здесь правило о соответствии транспонированию скаларно-векторного сопряжения не работает. Возможно,что для дуальных мнимых единиц может существовать другое правило.
Само соответствие транспонирования матричного представления числа скалярно-векторному сопряжению не было выведено, а было найдено эмпирически. Я еще не знаю какой в этом соответствии смысл (полезное свойство), но факт в том, что оно (это соответствие) существует, по крайней мере для основных алгебр, основанных на эллиптических мнимых единицах.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Возьмем представление комплексных чисел: $$ x_0 + i x_1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}x_0&-x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) $$ Транспонированию матрицы соответствует смена знаков у компонент при мнимых единицах: $$ \left(\begin{array}{rr}x_0&-x_1\\x_1&x_0\end{array}\right)^T= \left(\begin{array}{rr}x_0&x_1\\-x_1&x_0\end{array}\right) \Leftrightarrow x_0 - i x_1 $$ Возьмем представление кватерниона $$ x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 $$ $$ x \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) $$ Транспонированию матрицы соответствует смена знаков у мнимых единиц: $$ \left( \begin{array}{rrrr} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right)^T= \left( \begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ -x_1 & x_0 & x_3 & -x_2 \\ -x_2 & -x_3 & x_0 & x_1 \\ -x_3 & x_2 & -x_1 & x_0 \end{array} \right) \Leftrightarrow $$ $$ x_0-ix_1-jx_2-kx_3 $$ Возьмем матричное представление бикомплексных чисел: $$ x=x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3 $$ Им соответствует матричное представление: $$ x\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & -x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ В результате транспонирования этой матрицы получаем матрицу: $$ \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & -x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right)^T= \left(\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_0 & -x_3 & -x_2 \\ -x_2 & x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_3 & x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ Эта матрица соответствует смене знаков у мнимых единиц: $$ x^T=x_0+Iix_1-Ix_2-ix_3 $$ Возьмем матричное представление бикватернионов: $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ Им соответствует матричное представление: $$ x\Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrrrrrr} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & -x_4 & -x_5 & -x_6 & -x_7 \\ x_1 & x_0 & -x_7 & x_6 & x_5 & x_4 & -x_3 & x_2 \\ x_2 & x_7 & x_0 & -x_5 & x_6 & x_3 & x_4 & -x_1 \\ x_3 & -x_6 & x_5 & x_0 & x_7 & -x_2 & x_1 & x_4 \\ x_4 & -x_5 & -x_6 & -x_7 & x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_5 & -x_4 & x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 & -x_7 & x_6 \\ x_6 & -x_3 & -x_4 & x_1 & -x_2 & x_7 & x_0 & -x_5 \\ x_7 & x_2 & -x_1 & -x_4 & -x_3 & -x_6 & x_5 & x_0 \end{array} \right) $$ Опустим переписывание столь же громоздкой транспонированной матрицы, просто убедимся, что транспонированию её соответствует смена знаков у компонент: $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3-Ix_4-ix_5-jx_6-kx_7 $$ У всех рассмотренных алгебр общим является то, что транспонированию их матричного представления соответствует скалярно-векторное сопряжение $$ x^T\Leftrightarrow\overline{x}^* $$ где при скалярном сопряжении ($x^*$) знаки меняются у компонент, содержащих мнимую единицу $I$ (можно назвать скалярной мнимой единицей). Скалярное сопряжение имеет свойство: $$ (ab)^*=a^*b^* $$ При векторном сопряжении знаки меняются у компонент, содержащих векторные мнимые единицы $i$, $j$, $k$. Векторное сопряжение имеет свойство: $$ \overline{(ab)}=\overline{b}\overline{a} $$ Матричное представление паракомплексных чисел имеет вид: $$ x \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}x_0&x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) $$ При транспонировании матрица не меняется и компоненты ей соответствующиего числа не меняют знаки. Чтобы паракомплексным числам соответствовало правило о соответствии транспонированию скалярно-векторного сопряжения нужно мнимую единицу паракомплексных чисел рассматривать как произведение двух мнимых единиц как в бикомплексных числах $$ i \leftrightarrow Ii $$ Причем рассматривать надо так, как будто бы в этой алгебре единицы $I$ и $i$ есть, но они всегда встречаются в произведении $Ii$ и никогда по отдельности.
В случае с дуальными числами матрица представления имеет вид: $$ x_0 + \omega x_1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}x_0&0\\x_1&x_0\end{array}\right) $$ Здесь правило о соответствии транспонированию скаларно-векторного сопряжения не работает. Возможно,что для дуальных мнимых единиц может существовать другое правило.
Само соответствие транспонирования матричного представления числа скалярно-векторному сопряжению не было выведено, а было найдено эмпирически. Я еще не знаю какой в этом соответствии смысл (полезное свойство), но факт в том, что оно (это соответствие) существует, по крайней мере для основных алгебр, основанных на эллиптических мнимых единицах.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий