В гиперкомплексных алгебрах понятие обратной величины обычно определяют через
алгебраически сопряженную величину:
x−1=¯xx¯x
Но это не избавляет от вычисления алгебраически сопряженной величины. Для
алгебр, в которых алгебраическое сопряжение является линейным, это не составляет
проблем. Например, это очень просто вычислить в алгебре комплексных чисел,
кватернионов, октав. В алгебре паракомплексных чисел также алгебраическое
сопряжение линейно, но возможно равенство нулю величины x¯x при
ненулевом числе x.
Для алгебр, в которых алгебраическое сопряжение нетривиально, проблему может составлять уже само его вычисление. В качестве иллюстрации могут быть использованы бикомплексные числа и бикватернионы.
Как вариант, для них можно составить библиотеку функций для численных операций, основанную на экспоненциальной функции и для вычисления алгебраического сопряжения использовать комбинацию экспоненты от логарифма с инвертированными знаками у компонент при мнимых единицах. Такой вариант, безусловно, очень прост, но, во-первых, это численный метод, а не аналитический и, во-вторых, как следствие, моет не давать результата для случая когда один из промежуточных результатов является делителем нуля.
При использовании же матричного представления эта задача сводится к инвертированию матрицы методом Кронекера. А именно, если X - есть матричное представление числа x, то для нахождения обратного надо решить уравнение XY=1 здесь 1 - это вектор-столбец с единицей в компоненте соответствующей действительной единице и с нулями по всем остальным компонентам.
После инвертирования X получим: Y=X−1 В качестве иллюстрации используем алгебру комплексных чисел: x=x0+ix1 i2=−1 Комплексные числа имеют матричное представление: X=(x0−x1x1x0) Нужно решить уравнение: (x0−x1x1x0)(y0y1)=(10) относительно y. y0=|1−x10x0||x0−x1x1x0|=x0x20+x21 y1=|x01x10||x0−x1x1x0|=−x1x20+x21 Здесь на всех шагах вычисления использовались только свойства алгебры матриц, и нигде не использовалось понятие алгебраического сопряжения.
Для случая алгебры бикомплексных чисел алгебраическое сопряжение уже не является простой линейной операцией смены знаков у компонент при мнимых единицах по некоему мнемоничесому правилу. То же самое можно сказать и о бикватернионах.
Например, для бикомплексного числа x=1+Ii2+I3+i4 библиотека численного вычисления алгебраически сопряженного (не обратного) дает результат: ¯x=3.1305+Ii3.5777+I(−0.4472)+i(−2.6833) Но, используя матричное представление бикомплексных чисел, мы можем получить и аналитическое представление обратного (но пока не алгебраически сопряженного).
Матричное представление бикомплексных чисел с порядком компонент задаваемым правилом: x=x0+Iix1+Ix2+ix3 I2=−1 i2=−1 iI=Ii имеет вид: X=(x0x1−x2−x3x1x0x3x2x2−x3x0−x1x3−x2−x1x0) При нахождении определителя матрицы получаем значение полинома: P(x)=x43−2x22x23+2x21x23+2x20x23+8x0x1x2x3+ +x42+2x21x22+2x20x22+x41−2x20x21+x40 В этом полиноме присутствуют и первые степени компонент и члены со знаком минус, поэтому может сформироваться мнение что эта величина в каких-то случаях может принимать отрицательное значение. Но это можно проверить. Полимодуль бикомплексного числа факторизуется до выражения: P(x)=((x3−x2)2+(x1+x0)2)((x3+x2)2+(x1−x0)2) Поскольку каждый из сомножителей представляет собой сумму квадратов, эта величина всегда больше или равна 0.
Соответственно, чтобы полимодуль бикомплексного числа стал равен нулю, есть всего 2 варианта: {x3=x2x1=−x0 {x3=−x2x1=x0 Это все комбинации, других нет.
Соответственно, если бикомплексное число не равное нулю удовлетворяет одному из этих условий, то это делитель нуля.
Ели провести инверсию матричного представления бикомплексного числа и сохранить обозначение P(x) как обозначение полимодуля, то получим аналитическое представление обратного бикомплексного числа: (x−1)0=x0x23+2x1x2x3+x0x22−x0x21+x30P(x) (x−1)1=x1x23+2x0x2x3+x1x22+x31−x20x1P(x) (x−1)2=x1x23−2x0x1x3−x32−x21x2−x20x2P(x) (x−1)3=x33−x22x3+x21x3+x20x3+2x0x1x2P(x) Для бикватернионов можно провести такую же процедуру аналитического инвертирования матрицы. Для бикватернионов это будет матрица 8x8.
Соответственно, если для бикомплексных чисел обратное значение представляет собой отношение полиномов 3-го и 4-го порядков, то для бикватернионов обратное значение будет отношением полиномов 7-го и 8-го порядков и будет иметь не 4, а 8 компонент. Но принципиально ничего нового, те же операции из алгебры матриц.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Для алгебр, в которых алгебраическое сопряжение нетривиально, проблему может составлять уже само его вычисление. В качестве иллюстрации могут быть использованы бикомплексные числа и бикватернионы.
Как вариант, для них можно составить библиотеку функций для численных операций, основанную на экспоненциальной функции и для вычисления алгебраического сопряжения использовать комбинацию экспоненты от логарифма с инвертированными знаками у компонент при мнимых единицах. Такой вариант, безусловно, очень прост, но, во-первых, это численный метод, а не аналитический и, во-вторых, как следствие, моет не давать результата для случая когда один из промежуточных результатов является делителем нуля.
При использовании же матричного представления эта задача сводится к инвертированию матрицы методом Кронекера. А именно, если X - есть матричное представление числа x, то для нахождения обратного надо решить уравнение XY=1 здесь 1 - это вектор-столбец с единицей в компоненте соответствующей действительной единице и с нулями по всем остальным компонентам.
После инвертирования X получим: Y=X−1 В качестве иллюстрации используем алгебру комплексных чисел: x=x0+ix1 i2=−1 Комплексные числа имеют матричное представление: X=(x0−x1x1x0) Нужно решить уравнение: (x0−x1x1x0)(y0y1)=(10) относительно y. y0=|1−x10x0||x0−x1x1x0|=x0x20+x21 y1=|x01x10||x0−x1x1x0|=−x1x20+x21 Здесь на всех шагах вычисления использовались только свойства алгебры матриц, и нигде не использовалось понятие алгебраического сопряжения.
Для случая алгебры бикомплексных чисел алгебраическое сопряжение уже не является простой линейной операцией смены знаков у компонент при мнимых единицах по некоему мнемоничесому правилу. То же самое можно сказать и о бикватернионах.
Например, для бикомплексного числа x=1+Ii2+I3+i4 библиотека численного вычисления алгебраически сопряженного (не обратного) дает результат: ¯x=3.1305+Ii3.5777+I(−0.4472)+i(−2.6833) Но, используя матричное представление бикомплексных чисел, мы можем получить и аналитическое представление обратного (но пока не алгебраически сопряженного).
Матричное представление бикомплексных чисел с порядком компонент задаваемым правилом: x=x0+Iix1+Ix2+ix3 I2=−1 i2=−1 iI=Ii имеет вид: X=(x0x1−x2−x3x1x0x3x2x2−x3x0−x1x3−x2−x1x0) При нахождении определителя матрицы получаем значение полинома: P(x)=x43−2x22x23+2x21x23+2x20x23+8x0x1x2x3+ +x42+2x21x22+2x20x22+x41−2x20x21+x40 В этом полиноме присутствуют и первые степени компонент и члены со знаком минус, поэтому может сформироваться мнение что эта величина в каких-то случаях может принимать отрицательное значение. Но это можно проверить. Полимодуль бикомплексного числа факторизуется до выражения: P(x)=((x3−x2)2+(x1+x0)2)((x3+x2)2+(x1−x0)2) Поскольку каждый из сомножителей представляет собой сумму квадратов, эта величина всегда больше или равна 0.
Соответственно, чтобы полимодуль бикомплексного числа стал равен нулю, есть всего 2 варианта: {x3=x2x1=−x0 {x3=−x2x1=x0 Это все комбинации, других нет.
Соответственно, если бикомплексное число не равное нулю удовлетворяет одному из этих условий, то это делитель нуля.
Ели провести инверсию матричного представления бикомплексного числа и сохранить обозначение P(x) как обозначение полимодуля, то получим аналитическое представление обратного бикомплексного числа: (x−1)0=x0x23+2x1x2x3+x0x22−x0x21+x30P(x) (x−1)1=x1x23+2x0x2x3+x1x22+x31−x20x1P(x) (x−1)2=x1x23−2x0x1x3−x32−x21x2−x20x2P(x) (x−1)3=x33−x22x3+x21x3+x20x3+2x0x1x2P(x) Для бикватернионов можно провести такую же процедуру аналитического инвертирования матрицы. Для бикватернионов это будет матрица 8x8.
Соответственно, если для бикомплексных чисел обратное значение представляет собой отношение полиномов 3-го и 4-го порядков, то для бикватернионов обратное значение будет отношением полиномов 7-го и 8-го порядков и будет иметь не 4, а 8 компонент. Но принципиально ничего нового, те же операции из алгебры матриц.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий