В гиперкомплексных алгебрах понятие обратной величины обычно определяют через
алгебраически сопряженную величину:
$$
x^{-1}=\frac{\overline{x}}{x\overline{x}}
$$
Но это не избавляет от вычисления алгебраически сопряженной величины. Для
алгебр, в которых алгебраическое сопряжение является линейным, это не составляет
проблем. Например, это очень просто вычислить в алгебре комплексных чисел,
кватернионов, октав. В алгебре паракомплексных чисел также алгебраическое
сопряжение линейно, но возможно равенство нулю величины $x\overline{x}$ при
ненулевом числе $x$.
Для алгебр, в которых алгебраическое сопряжение нетривиально, проблему может составлять уже само его вычисление. В качестве иллюстрации могут быть использованы бикомплексные числа и бикватернионы.
Как вариант, для них можно составить библиотеку функций для численных операций, основанную на экспоненциальной функции и для вычисления алгебраического сопряжения использовать комбинацию экспоненты от логарифма с инвертированными знаками у компонент при мнимых единицах. Такой вариант, безусловно, очень прост, но, во-первых, это численный метод, а не аналитический и, во-вторых, как следствие, моет не давать результата для случая когда один из промежуточных результатов является делителем нуля.
При использовании же матричного представления эта задача сводится к инвертированию матрицы методом Кронекера. А именно, если $X$ - есть матричное представление числа $x$, то для нахождения обратного надо решить уравнение $$ XY=1 $$ здесь 1 - это вектор-столбец с единицей в компоненте соответствующей действительной единице и с нулями по всем остальным компонентам.
После инвертирования $X$ получим: $$ Y=X^{-1} $$ В качестве иллюстрации используем алгебру комплексных чисел: $$ x=x_0+ix_1 $$ $$ i^2=-1 $$ Комплексные числа имеют матричное представление: $$ X=\left( \begin{array}{cc} x_0 & -x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ Нужно решить уравнение: $$ \left( \begin{array}{cc} x_0 & -x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} y_0 \\ y_1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) $$ относительно $y$. $$ y_0=\frac{\left| \begin{array}{cc} 1 & -x_1 \\ 0 & x_0 \end{array}\right|}{ \left| \begin{array}{cc} x_0 & -x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right|} = \frac{x_0}{x_0^2+x_1^2} $$ $$ y_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} x_0 & 1 \\ x_1 & 0 \end{array}\right|}{ \left| \begin{array}{cc} x_0 & -x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right|} = \frac{-x_1}{x_0^2+x_1^2} $$ Здесь на всех шагах вычисления использовались только свойства алгебры матриц, и нигде не использовалось понятие алгебраического сопряжения.
Для случая алгебры бикомплексных чисел алгебраическое сопряжение уже не является простой линейной операцией смены знаков у компонент при мнимых единицах по некоему мнемоничесому правилу. То же самое можно сказать и о бикватернионах.
Например, для бикомплексного числа $$ x=1+Ii2+I3+i4 $$ библиотека численного вычисления алгебраически сопряженного (не обратного) дает результат: $$ \overline{x}=3.1305+Ii3.5777+I(-0.4472)+i(-2.6833) $$ Но, используя матричное представление бикомплексных чисел, мы можем получить и аналитическое представление обратного (но пока не алгебраически сопряженного).
Матричное представление бикомплексных чисел с порядком компонент задаваемым правилом: $$ x=x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3 $$ $$ I^2=-1 $$ $$ i^2=-1 $$ $$ iI=Ii $$ имеет вид: $$ X=\left( \begin{array}{cccc} x_0 & x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & -x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ При нахождении определителя матрицы получаем значение полинома: $$ P(x)=x_3^4-2x_2^2x_3^2+2x_1^2x_3^2+ 2x_0^2x_3^2+8x_0x_1x_2x_3+ $$ $$ +x_2^4+2x_1^2x_2^2+2x_0^2x_2^2+x_1^4-2x_0^2x_1^2+x_0^4 $$ В этом полиноме присутствуют и первые степени компонент и члены со знаком минус, поэтому может сформироваться мнение что эта величина в каких-то случаях может принимать отрицательное значение. Но это можно проверить. Полимодуль бикомплексного числа факторизуется до выражения: $$ P(x)=((x_3-x_2)^2+(x_1+x_0)^2)((x_3+x_2)^2+(x_1-x_0)^2) $$ Поскольку каждый из сомножителей представляет собой сумму квадратов, эта величина всегда больше или равна 0.
Соответственно, чтобы полимодуль бикомплексного числа стал равен нулю, есть всего 2 варианта: $$ \left\{ \begin{array}{l} x_3 = x_2 \\ x_1 = -x_0 \end{array}\right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} x_3 = -x_2 \\ x_1 = x_0 \end{array}\right. $$ Это все комбинации, других нет.
Соответственно, если бикомплексное число не равное нулю удовлетворяет одному из этих условий, то это делитель нуля.
Ели провести инверсию матричного представления бикомплексного числа и сохранить обозначение $P(x)$ как обозначение полимодуля, то получим аналитическое представление обратного бикомплексного числа: $$ (x^{-1})_0=\frac{x_0x_3^2+2x_1x_2x_3+x_0x_2^2-x_0x_1^2+x_0^3}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_1=\frac{x_1x_3^2+2x_0x_2x_3+x_1x_2^2+x_1^3-x_0^2x_1}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_2=\frac{x_1x_3^2-2x_0x_1x_3-x_2^3-x_1^2x_2-x_0^2x_2}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_3=\frac{x_3^3-x_2^2x_3+x_1^2x_3+x_0^2x_3+2x_0x_1x_2}{P(x)} $$ Для бикватернионов можно провести такую же процедуру аналитического инвертирования матрицы. Для бикватернионов это будет матрица 8x8.
Соответственно, если для бикомплексных чисел обратное значение представляет собой отношение полиномов 3-го и 4-го порядков, то для бикватернионов обратное значение будет отношением полиномов 7-го и 8-го порядков и будет иметь не 4, а 8 компонент. Но принципиально ничего нового, те же операции из алгебры матриц.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Для алгебр, в которых алгебраическое сопряжение нетривиально, проблему может составлять уже само его вычисление. В качестве иллюстрации могут быть использованы бикомплексные числа и бикватернионы.
Как вариант, для них можно составить библиотеку функций для численных операций, основанную на экспоненциальной функции и для вычисления алгебраического сопряжения использовать комбинацию экспоненты от логарифма с инвертированными знаками у компонент при мнимых единицах. Такой вариант, безусловно, очень прост, но, во-первых, это численный метод, а не аналитический и, во-вторых, как следствие, моет не давать результата для случая когда один из промежуточных результатов является делителем нуля.
При использовании же матричного представления эта задача сводится к инвертированию матрицы методом Кронекера. А именно, если $X$ - есть матричное представление числа $x$, то для нахождения обратного надо решить уравнение $$ XY=1 $$ здесь 1 - это вектор-столбец с единицей в компоненте соответствующей действительной единице и с нулями по всем остальным компонентам.
После инвертирования $X$ получим: $$ Y=X^{-1} $$ В качестве иллюстрации используем алгебру комплексных чисел: $$ x=x_0+ix_1 $$ $$ i^2=-1 $$ Комплексные числа имеют матричное представление: $$ X=\left( \begin{array}{cc} x_0 & -x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ Нужно решить уравнение: $$ \left( \begin{array}{cc} x_0 & -x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} y_0 \\ y_1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) $$ относительно $y$. $$ y_0=\frac{\left| \begin{array}{cc} 1 & -x_1 \\ 0 & x_0 \end{array}\right|}{ \left| \begin{array}{cc} x_0 & -x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right|} = \frac{x_0}{x_0^2+x_1^2} $$ $$ y_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} x_0 & 1 \\ x_1 & 0 \end{array}\right|}{ \left| \begin{array}{cc} x_0 & -x_1 \\ x_1 & x_0 \end{array}\right|} = \frac{-x_1}{x_0^2+x_1^2} $$ Здесь на всех шагах вычисления использовались только свойства алгебры матриц, и нигде не использовалось понятие алгебраического сопряжения.
Для случая алгебры бикомплексных чисел алгебраическое сопряжение уже не является простой линейной операцией смены знаков у компонент при мнимых единицах по некоему мнемоничесому правилу. То же самое можно сказать и о бикватернионах.
Например, для бикомплексного числа $$ x=1+Ii2+I3+i4 $$ библиотека численного вычисления алгебраически сопряженного (не обратного) дает результат: $$ \overline{x}=3.1305+Ii3.5777+I(-0.4472)+i(-2.6833) $$ Но, используя матричное представление бикомплексных чисел, мы можем получить и аналитическое представление обратного (но пока не алгебраически сопряженного).
Матричное представление бикомплексных чисел с порядком компонент задаваемым правилом: $$ x=x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3 $$ $$ I^2=-1 $$ $$ i^2=-1 $$ $$ iI=Ii $$ имеет вид: $$ X=\left( \begin{array}{cccc} x_0 & x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & -x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ При нахождении определителя матрицы получаем значение полинома: $$ P(x)=x_3^4-2x_2^2x_3^2+2x_1^2x_3^2+ 2x_0^2x_3^2+8x_0x_1x_2x_3+ $$ $$ +x_2^4+2x_1^2x_2^2+2x_0^2x_2^2+x_1^4-2x_0^2x_1^2+x_0^4 $$ В этом полиноме присутствуют и первые степени компонент и члены со знаком минус, поэтому может сформироваться мнение что эта величина в каких-то случаях может принимать отрицательное значение. Но это можно проверить. Полимодуль бикомплексного числа факторизуется до выражения: $$ P(x)=((x_3-x_2)^2+(x_1+x_0)^2)((x_3+x_2)^2+(x_1-x_0)^2) $$ Поскольку каждый из сомножителей представляет собой сумму квадратов, эта величина всегда больше или равна 0.
Соответственно, чтобы полимодуль бикомплексного числа стал равен нулю, есть всего 2 варианта: $$ \left\{ \begin{array}{l} x_3 = x_2 \\ x_1 = -x_0 \end{array}\right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{l} x_3 = -x_2 \\ x_1 = x_0 \end{array}\right. $$ Это все комбинации, других нет.
Соответственно, если бикомплексное число не равное нулю удовлетворяет одному из этих условий, то это делитель нуля.
Ели провести инверсию матричного представления бикомплексного числа и сохранить обозначение $P(x)$ как обозначение полимодуля, то получим аналитическое представление обратного бикомплексного числа: $$ (x^{-1})_0=\frac{x_0x_3^2+2x_1x_2x_3+x_0x_2^2-x_0x_1^2+x_0^3}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_1=\frac{x_1x_3^2+2x_0x_2x_3+x_1x_2^2+x_1^3-x_0^2x_1}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_2=\frac{x_1x_3^2-2x_0x_1x_3-x_2^3-x_1^2x_2-x_0^2x_2}{P(x)} $$ $$ (x^{-1})_3=\frac{x_3^3-x_2^2x_3+x_1^2x_3+x_0^2x_3+2x_0x_1x_2}{P(x)} $$ Для бикватернионов можно провести такую же процедуру аналитического инвертирования матрицы. Для бикватернионов это будет матрица 8x8.
Соответственно, если для бикомплексных чисел обратное значение представляет собой отношение полиномов 3-го и 4-го порядков, то для бикватернионов обратное значение будет отношением полиномов 7-го и 8-го порядков и будет иметь не 4, а 8 компонент. Но принципиально ничего нового, те же операции из алгебры матриц.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий