пятница, 9 декабря 2016 г.

Матричное представление комплексных чисел

Для получения матричного представления комплексных чисел выпишем покомпонентно результат произведения комплексных чисел $$ z=xy $$ $$ (z_0+iz_1)=(x_0+ix_1)(y_0+iy_1) $$ Получаем покомпонентное равенство двух комплексных чисел: $$ \left\{\begin{aligned} &z_0=x_0y_0-x_2y_1 \\ &z_1=x_1y_0+x_0y_1 \end{aligned}\right. $$ В матричном виде эта система уравнений эквивалентна произведению матрицы на столбец: $$ \left(\begin{array}{c}z_0\\z_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr}x_0 & -x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_0\\y_1\end{array}\right) $$ Матричное представление числа $x$ здесь играет роль кандидата на искомый результат: $$ x \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}x_0&-x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) $$ Проверим этот результат непосредственно: $$ \left(\begin{array}{rr}x_0 & -x_1\\x_1&x_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}y_0 & -y_1\\y_1&y_0\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} x_0y_0-x_1y_1 & -x_0y_1-x_1y_0\\ x_1y_0+x_0y_1&-x_1y_1+x_0y_0 \end{array}\right) $$ Полученная матрица равна искомому матричному представлению комплексного числа $z$: $$ z \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}z_0 & -z_1\\z_1&z_0\end{array}\right) $$ Таким образом, если производить указанную замену комплексных чисел на матрицы с коэффициентами взятыми из компонент комплексных чисел, то уравнения не меняют вида. Например, если в комплексных числах было уравнение $$ a\cdot b+c $$ то в матричном виде уравнение будет тем же самым, если выполнять замену мнимых единиц матрицами: $$ \begin{aligned} & 1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0&1\end{array}\right) \\ & i \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1&0\end{array}\right) \end{aligned} $$ $$ x \Leftrightarrow x_0\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0&1\end{array}\right)+ x_1\left(\begin{array}{rr}0 & -1\\1&0\end{array}\right) $$ Полученная замена мнимых единиц матрицами не является единственной, поскольку первоначальную систему уравнений мы могли бы выбрать записанной в ином порядке: $$ \left\{\begin{aligned} &z_1=x_0y_1+x_1y_0 \\ &z_0=-x_1y_1+_0y_0 \end{aligned}\right. $$ И эта система уравнений соответствует матричной записи $$ \left(\begin{array}{c}z_1\\z_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr}x_0&x_1\\-x_1&x_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_1\\y_0\end{array}\right) $$ В этом случае замена мнимых единиц получается в виде второго набора: $$ \begin{aligned} & 1 \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0&1\end{array}\right) \\ & i \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}0 & 1\\-1&0\end{array}\right) \end{aligned} $$ $$ x \Leftrightarrow x_0\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\0&1\end{array}\right)+ x_1\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\-1&0\end{array}\right) $$ Оба набора для замены мнимых единиц являются полностью эквивалентными и замена на любой набор сохранит вид исходного уравнения в комплексных числах. Разумеется, что, если был выбран один из наборов, то и все операции с матричным вариантом уравнения должны быть только с использованием одного этого выбранного набора.

Комплексные числа имеют 2 линейно-независимые компоненты, а матрицы 2x2 имеют 4 компоненты. Поэтому любое комплексное число может быть заменено на матрицу 2x2, но не любая матрица 2x2 может быть заменена на комплексное число.

Комментариев нет:

Отправить комментарий