Для представления кватернионов матрицами мы используем следующий факт.
Произведение гиперкомплексных чисел определено так, что результат произведения
двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам первого,
так и по компонентам второго сомножителя. Или, если есть произведение
x′=ax
то компоненты x′ равны:
x′i=∑jAijxj
и коэффициенты Aij есть комбинации компонентов ai.
Распишем это произведение в компонентах, чтобы найти соответствие коэффициентам (a0+ia1+ja2+ka3)(x0+ix1+jx2+kx3)==a0x0+ia0x1+ja0x2+ka0x3++ia1x0−a1x1+ka1x2−ja1x3++ja2x0−ka2x1−a2x2+ia2x3++ka3x0+ja3x1−ia3x2−a3x3 Это общее произведение кватернионов есть кватернион как сумма компонентов. Выделим равенства отдельных компонент: {x′0=a0x0−a1x1−a2x2−a3x3x′1=a1x0+a0x1−a3x2+a2x3x′2=a2x0+a3x1+a0x2−a1x3x′3=a3x0−a2x1+a1x2+a0x3 Здесь были также упорядочены члены выражений по возрастанию xi.
Эта система уравнений соответствует произведению матрицы Aij на вектор-столбец xi, в результате которого получается вектор-столбец x′i.
Коэффициенты матрицы Aij составляются из системы уравнений из компонентов кватерниона ai: A=(a0−a1−a2−a3a1a0−a3a2a2a3a0−a1a3−a2a1a0) Соответствие компонентов кватерниона a коэффициентам матрицы A имеет то свойство, что если есть кватернионное выражение и каждому кватерниону мы поставим в соответствие матрицу 4x4 по этому правилу, то выражение никак не изменится кроме того, что станет выражением не для кватернионов, а для матриц 4x4.
Для нахождения соответствия отдельным мнимым единицам выделим в матрице A отдельные матрицы Ai так, чтобы выполнялись условия: A=∑iaiAi Для этого просто выпишем матрицу A с подстановкой либо нулей либо единиц: A=a0(1000010000100001) +a1(0−1001000000−10010) +a2(00−10000110000−100) +a3(000−100−1001001000) Это разложение дает отдельные матрицы, иначе называемые базовыми, им можно поставить в соответствие мнимые единицы кватернионов и тогда кватернионное выражение с компонентами кватернионов будет заменено на в точности ему соответствующее матричное выражение с теми же компонентами в виде коэффициентов матриц.
Полный перечень замен мнимых единиц кватернионов на матрицы 4x4: 1⇔(1000010000100001) i⇔(0−1001000000−10010) j⇔(00−10000110000−100) k⇔(000−100−1001001000) Это лишь один из возможных наборов матриц. Другие наборы получаются при перестановке строк в исходной системе уравнений. Само упорядочение этих строк и есть определенный произвол в выборе соответствия мнимых единиц базисным матрицам. И в различных источниках могут встретиться иные наборы матриц. При построении и использовании таких соответствий, естественно, необходимо соблюдать одни и те же правила и соответствие одному и тому же набору базисных матриц.
В приведенном выводе сопоставления компонентов кватерниона коэффициентам матрицы не был использован второй вариант произведения кватернионов: x′=xa Вывод, кроме того, полагался на то, что матрица умножается на вектор-столбец и для такого произведения обратного произведения получиться на первый взгляд не должно.
В действительности, для матриц определено не только произведение матрицы на вектор-столбец, но и произведение матриц. В приведенном выводе мы, безусловно, можем заменить x не на вектор-столбец, а на матрицу того же вида, что и A, но условно умноженную на единичную матрицу. Или, другими словами, если кватернион x′ есть преобразование кватерниона x путем умножения на a, то и сам кватернион x есть результат такого же преобразования, и вместо вектор-столбцов и матриц мы переходим от кватернионов к использованию только матриц 4x4.
При выводе матриц представления кватернионов мы начали с опоры на то, что произведение гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация компонент как первого, так и второго сомножителя и потому преобразование умножения можно заменить на матрицу. Но спорность такой методики состоит в том, что существуют неассоциативные гиперкомплексные алгебры, например, октавы. Алгебра октав и производные от нее, рассмотрение их свойств выходят за рамки данной книги.
Ранее мы получили матричное 4x4 представление кватерниона, приведем его еще раз: A=(a0−a1−a2−a3a1a0−a3a2a2a3a0−a1a3−a2a1a0) Обращает на себя внимание тот факт, что норма кватерниона определяется формой второго порядка, а здесь матрица 4x4 и, следовательно, её определитель должен быть формой 4-го порядка. Найдем её непосредственное выражение в компонентах кватерниона, или в коэффициентах ai: ‖A‖=a0|a0−a3a2a3a0−a1−a2a1a0|+a1|a1−a3a2a2a0−a1a3a1a0|−−a2|a1a0a2a2a3−a1a3−a2a0|+a3|a1a0−a3a2a3a0a3−a2a1|==a0(a0(a20+a21)+a3(a3a0−a1a2)+a2(a3a1+a2a0))++a1(a1(a3a0−a2a1)+a3(a2a0+a3a1)+a2(a2a1−a3a0))−−a2(a1(a3a0−a2a1)−a0(a2a0+a3a1)+a2(−a22−a23))++a3(a1(a3a1+a2a0)−a0(a2a1−a3a0)−a3(−a22−a23)) После раскрытия скобок, упрощения и приведения подобных получаем выражение для ‖A‖: ‖A‖=a40+a41+a42+a43+2a20a21+2a20a23+2a20a22+2a21a22+2a21a23+2a22a23 Полученная форма очень напоминает формулу квадрата суммы: (a+b)2=a2+b2+2ab но для случая квадрата суммы не двух, а четырех чисел. Проверим эту формулу непосредственно: (a20+a21+a22+a23)(a20+a21+a22+a23)==a40+a20a21+a20a22+a20a23+a21a20+a41+a21a22+a21a23++a22a20+a22a21+a42+a22a23+a23a20+a23a21+a23a22+a43==a40+a41+a42+a43+2a20a21+2a20a23+2a20a22+2a21a22+2a21a23+2a22a23 Таким образом, определитель матрицы представления кватерниона 4x4 равен четвертой степени модуля кватерниона: ‖A‖=|a|4 Несмотря на то, что определитель есть форма 4-го порядка, а не второго, никакой новой информации по сравнению с квадратом модуля он не содержит.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Распишем это произведение в компонентах, чтобы найти соответствие коэффициентам (a0+ia1+ja2+ka3)(x0+ix1+jx2+kx3)==a0x0+ia0x1+ja0x2+ka0x3++ia1x0−a1x1+ka1x2−ja1x3++ja2x0−ka2x1−a2x2+ia2x3++ka3x0+ja3x1−ia3x2−a3x3 Это общее произведение кватернионов есть кватернион как сумма компонентов. Выделим равенства отдельных компонент: {x′0=a0x0−a1x1−a2x2−a3x3x′1=a1x0+a0x1−a3x2+a2x3x′2=a2x0+a3x1+a0x2−a1x3x′3=a3x0−a2x1+a1x2+a0x3 Здесь были также упорядочены члены выражений по возрастанию xi.
Эта система уравнений соответствует произведению матрицы Aij на вектор-столбец xi, в результате которого получается вектор-столбец x′i.
Коэффициенты матрицы Aij составляются из системы уравнений из компонентов кватерниона ai: A=(a0−a1−a2−a3a1a0−a3a2a2a3a0−a1a3−a2a1a0) Соответствие компонентов кватерниона a коэффициентам матрицы A имеет то свойство, что если есть кватернионное выражение и каждому кватерниону мы поставим в соответствие матрицу 4x4 по этому правилу, то выражение никак не изменится кроме того, что станет выражением не для кватернионов, а для матриц 4x4.
Для нахождения соответствия отдельным мнимым единицам выделим в матрице A отдельные матрицы Ai так, чтобы выполнялись условия: A=∑iaiAi Для этого просто выпишем матрицу A с подстановкой либо нулей либо единиц: A=a0(1000010000100001) +a1(0−1001000000−10010) +a2(00−10000110000−100) +a3(000−100−1001001000) Это разложение дает отдельные матрицы, иначе называемые базовыми, им можно поставить в соответствие мнимые единицы кватернионов и тогда кватернионное выражение с компонентами кватернионов будет заменено на в точности ему соответствующее матричное выражение с теми же компонентами в виде коэффициентов матриц.
Полный перечень замен мнимых единиц кватернионов на матрицы 4x4: 1⇔(1000010000100001) i⇔(0−1001000000−10010) j⇔(00−10000110000−100) k⇔(000−100−1001001000) Это лишь один из возможных наборов матриц. Другие наборы получаются при перестановке строк в исходной системе уравнений. Само упорядочение этих строк и есть определенный произвол в выборе соответствия мнимых единиц базисным матрицам. И в различных источниках могут встретиться иные наборы матриц. При построении и использовании таких соответствий, естественно, необходимо соблюдать одни и те же правила и соответствие одному и тому же набору базисных матриц.
В приведенном выводе сопоставления компонентов кватерниона коэффициентам матрицы не был использован второй вариант произведения кватернионов: x′=xa Вывод, кроме того, полагался на то, что матрица умножается на вектор-столбец и для такого произведения обратного произведения получиться на первый взгляд не должно.
В действительности, для матриц определено не только произведение матрицы на вектор-столбец, но и произведение матриц. В приведенном выводе мы, безусловно, можем заменить x не на вектор-столбец, а на матрицу того же вида, что и A, но условно умноженную на единичную матрицу. Или, другими словами, если кватернион x′ есть преобразование кватерниона x путем умножения на a, то и сам кватернион x есть результат такого же преобразования, и вместо вектор-столбцов и матриц мы переходим от кватернионов к использованию только матриц 4x4.
При выводе матриц представления кватернионов мы начали с опоры на то, что произведение гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация компонент как первого, так и второго сомножителя и потому преобразование умножения можно заменить на матрицу. Но спорность такой методики состоит в том, что существуют неассоциативные гиперкомплексные алгебры, например, октавы. Алгебра октав и производные от нее, рассмотрение их свойств выходят за рамки данной книги.
Ранее мы получили матричное 4x4 представление кватерниона, приведем его еще раз: A=(a0−a1−a2−a3a1a0−a3a2a2a3a0−a1a3−a2a1a0) Обращает на себя внимание тот факт, что норма кватерниона определяется формой второго порядка, а здесь матрица 4x4 и, следовательно, её определитель должен быть формой 4-го порядка. Найдем её непосредственное выражение в компонентах кватерниона, или в коэффициентах ai: ‖A‖=a0|a0−a3a2a3a0−a1−a2a1a0|+a1|a1−a3a2a2a0−a1a3a1a0|−−a2|a1a0a2a2a3−a1a3−a2a0|+a3|a1a0−a3a2a3a0a3−a2a1|==a0(a0(a20+a21)+a3(a3a0−a1a2)+a2(a3a1+a2a0))++a1(a1(a3a0−a2a1)+a3(a2a0+a3a1)+a2(a2a1−a3a0))−−a2(a1(a3a0−a2a1)−a0(a2a0+a3a1)+a2(−a22−a23))++a3(a1(a3a1+a2a0)−a0(a2a1−a3a0)−a3(−a22−a23)) После раскрытия скобок, упрощения и приведения подобных получаем выражение для ‖A‖: ‖A‖=a40+a41+a42+a43+2a20a21+2a20a23+2a20a22+2a21a22+2a21a23+2a22a23 Полученная форма очень напоминает формулу квадрата суммы: (a+b)2=a2+b2+2ab но для случая квадрата суммы не двух, а четырех чисел. Проверим эту формулу непосредственно: (a20+a21+a22+a23)(a20+a21+a22+a23)==a40+a20a21+a20a22+a20a23+a21a20+a41+a21a22+a21a23++a22a20+a22a21+a42+a22a23+a23a20+a23a21+a23a22+a43==a40+a41+a42+a43+2a20a21+2a20a23+2a20a22+2a21a22+2a21a23+2a22a23 Таким образом, определитель матрицы представления кватерниона 4x4 равен четвертой степени модуля кватерниона: ‖A‖=|a|4 Несмотря на то, что определитель есть форма 4-го порядка, а не второго, никакой новой информации по сравнению с квадратом модуля он не содержит.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий