пятница, 16 декабря 2016 г.

Матричное представление 4x4 кватернионов

Для представления кватернионов матрицами мы используем следующий факт. Произведение гиперкомплексных чисел определено так, что результат произведения двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам первого, так и по компонентам второго сомножителя. Или, если есть произведение $$ x'=ax \label{eqmat44mul1} $$ то компоненты $x'$ равны: $$ x'_i=\sum\limits_{j}A_{ij}x_j $$ и коэффициенты $A_{ij}$ есть комбинации компонентов $a_i$.

Распишем это произведение в компонентах, чтобы найти соответствие коэффициентам $$ \begin{aligned} &(a_0+ia_1+ja_2+ka_3)(x_0+ix_1+jx_2+kx_3)=\\ &=a_0x_0+ia_0x_1+ja_0x_2+ka_0x_3+\\ &+ia_1x_0-a_1x_1+ka_1x_2-ja_1x_3+\\ &+ja_2x_0-ka_2x_1-a_2x_2+ia_2x_3+\\ &+ka_3x_0+ja_3x_1-ia_3x_2-a_3x_3 \end{aligned} $$ Это общее произведение кватернионов есть кватернион как сумма компонентов. Выделим равенства отдельных компонент: $$ \left\{ \begin{aligned} &x'_0=a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3\\ &x'_1=a_1x_0+a_0x_1-a_3x_2+a_2x_3\\ &x'_2=a_2x_0+a_3x_1+a_0x_2-a_1x_3\\ &x'_3=a_3x_0-a_2x_1+a_1x_2+a_0x_3 \end{aligned} \right. $$ Здесь были также упорядочены члены выражений по возрастанию $x_i$.

Эта система уравнений соответствует произведению матрицы $A_{ij}$ на вектор-столбец $x_i$, в результате которого получается вектор-столбец $x'_i$.

Коэффициенты матрицы $A_{ij}$ составляются из системы уравнений из компонентов кватерниона $a_i$: $$ A=\left( \begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) $$ Соответствие компонентов кватерниона $a$ коэффициентам матрицы $A$ имеет то свойство, что если есть кватернионное выражение и каждому кватерниону мы поставим в соответствие матрицу 4x4 по этому правилу, то выражение никак не изменится кроме того, что станет выражением не для кватернионов, а для матриц 4x4.

Для нахождения соответствия отдельным мнимым единицам выделим в матрице $A$ отдельные матрицы $A_i$ так, чтобы выполнялись условия: $$ A=\sum\limits_ia_iA_i $$ Для этого просто выпишем матрицу $A$ с подстановкой либо нулей либо единиц: $$ A = a_0 \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ + a_1 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ $$ + a_2 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ $$ + a_3 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Это разложение дает отдельные матрицы, иначе называемые базовыми, им можно поставить в соответствие мнимые единицы кватернионов и тогда кватернионное выражение с компонентами кватернионов будет заменено на в точности ему соответствующее матричное выражение с теми же компонентами в виде коэффициентов матриц.

Полный перечень замен мнимых единиц кватернионов на матрицы 4x4: $$ 1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ i \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ $$ j \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ $$ k \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Это лишь один из возможных наборов матриц. Другие наборы получаются при перестановке строк в исходной системе уравнений. Само упорядочение этих строк и есть определенный произвол в выборе соответствия мнимых единиц базисным матрицам. И в различных источниках могут встретиться иные наборы матриц. При построении и использовании таких соответствий, естественно, необходимо соблюдать одни и те же правила и соответствие одному и тому же набору базисных матриц.

В приведенном выводе сопоставления компонентов кватерниона коэффициентам матрицы не был использован второй вариант произведения кватернионов: $$ x'=xa $$ Вывод, кроме того, полагался на то, что матрица умножается на вектор-столбец и для такого произведения обратного произведения получиться на первый взгляд не должно.

В действительности, для матриц определено не только произведение матрицы на вектор-столбец, но и произведение матриц. В приведенном выводе мы, безусловно, можем заменить $x$ не на вектор-столбец, а на матрицу того же вида, что и $A$, но условно умноженную на единичную матрицу. Или, другими словами, если кватернион $x'$ есть преобразование кватерниона $x$ путем умножения на $a$, то и сам кватернион $x$ есть результат такого же преобразования, и вместо вектор-столбцов и матриц мы переходим от кватернионов к использованию только матриц 4x4.

При выводе матриц представления кватернионов мы начали с опоры на то, что произведение гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация компонент как первого, так и второго сомножителя и потому преобразование умножения можно заменить на матрицу. Но спорность такой методики состоит в том, что существуют неассоциативные гиперкомплексные алгебры, например, октавы. Алгебра октав и производные от нее, рассмотрение их свойств выходят за рамки данной книги.

Ранее мы получили матричное 4x4 представление кватерниона, приведем его еще раз: $$ A=\left( \begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) $$ Обращает на себя внимание тот факт, что норма кватерниона определяется формой второго порядка, а здесь матрица 4x4 и, следовательно, её определитель должен быть формой 4-го порядка. Найдем её непосредственное выражение в компонентах кватерниона, или в коэффициентах $a_i$: $$ \begin{aligned} \left\|A\right\| & = a_0\left| \begin{array}{rrr} a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & a_0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & a_0 \\ \end{array} \right| + a_1\left| \begin{array}{rrr} a_1 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & a_1 & a_0 \\ \end{array} \right| - \\ & -a_2\left| \begin{array}{rrr} a_1 & a_0 & a_2 \\ a_2 & a_3 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_0 \\ \end{array} \right| + a_3\left| \begin{array}{rrr} a_1 & a_0 & -a_3 \\ a_2 & a_3 & a_0 \\ a_3 & -a_2 & a_1 \\ \end{array} \right| = \\ & = a_0(a_0(a_0^2+a_1^2)+a_3(a_3a_0-a_1a_2)+a_2(a_3a_1+a_2a_0))+ \\ & + a_1(a_1(a_3a_0-a_2a_1)+a_3(a_2a_0+a_3a_1)+a_2(a_2a_1-a_3a_0))-\\ & - a_2(a_1(a_3a_0-a_2a_1)-a_0(a_2a_0+a_3a_1)+a_2(-a_2^2-a_3^2))+\\ & + a_3(a_1(a_3a_1+a_2a_0)-a_0(a_2a_1-a_3a_0)-a_3(-a_2^2-a_3^2)) \end{aligned} $$ После раскрытия скобок, упрощения и приведения подобных получаем выражение для $\left\|A\right\|$: $$ \begin{array}{c} \left\|A\right\|=a_0^4+a_1^4+a_2^4+a_3^4+2a_0^2a_1^2+2a_0^2a_3^2+ \\ 2a_0^2a_2^2+2a_1^2a_2^2+2a_1^2a_3^2+2a_2^2a_3^2 \end{array} $$ Полученная форма очень напоминает формулу квадрата суммы: $$ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab $$ но для случая квадрата суммы не двух, а четырех чисел. Проверим эту формулу непосредственно: $$ \begin{array}{c} (a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2) =\\ = a_0^4+a_0^2a_1^2+a_0^2a_2^2+a_0^2a_3^2+a_1^2a_0^2+ a_1^4+a_1^2a_2^2+a_1^2a_3^2+\\ + a_2^2a_0^2+a_2^2a_1^2+a_2^4+a_2^2a_3^2+a_3^2a_0^2+ a_3^2a_1^2+a_3^2a_2^2+a_3^4 =\\ = a_0^4+a_1^4+a_2^4+a_3^4+2a_0^2a_1^2+2a_0^2a_3^2+ \\ 2a_0^2a_2^2+2a_1^2a_2^2+2a_1^2a_3^2+2a_2^2a_3^2 \end{array} $$ Таким образом, определитель матрицы представления кватерниона 4x4 равен четвертой степени модуля кватерниона: $$ \left\|A\right\|=\left|a\right|^4 $$ Несмотря на то, что определитель есть форма 4-го порядка, а не второго, никакой новой информации по сравнению с квадратом модуля он не содержит.

Комментариев нет:

Отправить комментарий