Для представления кватернионов матрицами мы используем следующий факт.
Произведение гиперкомплексных чисел определено так, что результат произведения
двух гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация как по компонентам первого,
так и по компонентам второго сомножителя. Или, если есть произведение
$$
x'=ax
\label{eqmat44mul1}
$$
то компоненты $x'$ равны:
$$
x'_i=\sum\limits_{j}A_{ij}x_j
$$
и коэффициенты $A_{ij}$ есть комбинации компонентов $a_i$.
Распишем это произведение в компонентах, чтобы найти соответствие коэффициентам $$ \begin{aligned} &(a_0+ia_1+ja_2+ka_3)(x_0+ix_1+jx_2+kx_3)=\\ &=a_0x_0+ia_0x_1+ja_0x_2+ka_0x_3+\\ &+ia_1x_0-a_1x_1+ka_1x_2-ja_1x_3+\\ &+ja_2x_0-ka_2x_1-a_2x_2+ia_2x_3+\\ &+ka_3x_0+ja_3x_1-ia_3x_2-a_3x_3 \end{aligned} $$ Это общее произведение кватернионов есть кватернион как сумма компонентов. Выделим равенства отдельных компонент: $$ \left\{ \begin{aligned} &x'_0=a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3\\ &x'_1=a_1x_0+a_0x_1-a_3x_2+a_2x_3\\ &x'_2=a_2x_0+a_3x_1+a_0x_2-a_1x_3\\ &x'_3=a_3x_0-a_2x_1+a_1x_2+a_0x_3 \end{aligned} \right. $$ Здесь были также упорядочены члены выражений по возрастанию $x_i$.
Эта система уравнений соответствует произведению матрицы $A_{ij}$ на вектор-столбец $x_i$, в результате которого получается вектор-столбец $x'_i$.
Коэффициенты матрицы $A_{ij}$ составляются из системы уравнений из компонентов кватерниона $a_i$: $$ A=\left( \begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) $$ Соответствие компонентов кватерниона $a$ коэффициентам матрицы $A$ имеет то свойство, что если есть кватернионное выражение и каждому кватерниону мы поставим в соответствие матрицу 4x4 по этому правилу, то выражение никак не изменится кроме того, что станет выражением не для кватернионов, а для матриц 4x4.
Для нахождения соответствия отдельным мнимым единицам выделим в матрице $A$ отдельные матрицы $A_i$ так, чтобы выполнялись условия: $$ A=\sum\limits_ia_iA_i $$ Для этого просто выпишем матрицу $A$ с подстановкой либо нулей либо единиц: $$ A = a_0 \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ + a_1 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ $$ + a_2 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ $$ + a_3 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Это разложение дает отдельные матрицы, иначе называемые базовыми, им можно поставить в соответствие мнимые единицы кватернионов и тогда кватернионное выражение с компонентами кватернионов будет заменено на в точности ему соответствующее матричное выражение с теми же компонентами в виде коэффициентов матриц.
Полный перечень замен мнимых единиц кватернионов на матрицы 4x4: $$ 1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ i \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ $$ j \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ $$ k \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Это лишь один из возможных наборов матриц. Другие наборы получаются при перестановке строк в исходной системе уравнений. Само упорядочение этих строк и есть определенный произвол в выборе соответствия мнимых единиц базисным матрицам. И в различных источниках могут встретиться иные наборы матриц. При построении и использовании таких соответствий, естественно, необходимо соблюдать одни и те же правила и соответствие одному и тому же набору базисных матриц.
В приведенном выводе сопоставления компонентов кватерниона коэффициентам матрицы не был использован второй вариант произведения кватернионов: $$ x'=xa $$ Вывод, кроме того, полагался на то, что матрица умножается на вектор-столбец и для такого произведения обратного произведения получиться на первый взгляд не должно.
В действительности, для матриц определено не только произведение матрицы на вектор-столбец, но и произведение матриц. В приведенном выводе мы, безусловно, можем заменить $x$ не на вектор-столбец, а на матрицу того же вида, что и $A$, но условно умноженную на единичную матрицу. Или, другими словами, если кватернион $x'$ есть преобразование кватерниона $x$ путем умножения на $a$, то и сам кватернион $x$ есть результат такого же преобразования, и вместо вектор-столбцов и матриц мы переходим от кватернионов к использованию только матриц 4x4.
При выводе матриц представления кватернионов мы начали с опоры на то, что произведение гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация компонент как первого, так и второго сомножителя и потому преобразование умножения можно заменить на матрицу. Но спорность такой методики состоит в том, что существуют неассоциативные гиперкомплексные алгебры, например, октавы. Алгебра октав и производные от нее, рассмотрение их свойств выходят за рамки данной книги.
Ранее мы получили матричное 4x4 представление кватерниона, приведем его еще раз: $$ A=\left( \begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) $$ Обращает на себя внимание тот факт, что норма кватерниона определяется формой второго порядка, а здесь матрица 4x4 и, следовательно, её определитель должен быть формой 4-го порядка. Найдем её непосредственное выражение в компонентах кватерниона, или в коэффициентах $a_i$: $$ \begin{aligned} \left\|A\right\| & = a_0\left| \begin{array}{rrr} a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & a_0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & a_0 \\ \end{array} \right| + a_1\left| \begin{array}{rrr} a_1 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & a_1 & a_0 \\ \end{array} \right| - \\ & -a_2\left| \begin{array}{rrr} a_1 & a_0 & a_2 \\ a_2 & a_3 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_0 \\ \end{array} \right| + a_3\left| \begin{array}{rrr} a_1 & a_0 & -a_3 \\ a_2 & a_3 & a_0 \\ a_3 & -a_2 & a_1 \\ \end{array} \right| = \\ & = a_0(a_0(a_0^2+a_1^2)+a_3(a_3a_0-a_1a_2)+a_2(a_3a_1+a_2a_0))+ \\ & + a_1(a_1(a_3a_0-a_2a_1)+a_3(a_2a_0+a_3a_1)+a_2(a_2a_1-a_3a_0))-\\ & - a_2(a_1(a_3a_0-a_2a_1)-a_0(a_2a_0+a_3a_1)+a_2(-a_2^2-a_3^2))+\\ & + a_3(a_1(a_3a_1+a_2a_0)-a_0(a_2a_1-a_3a_0)-a_3(-a_2^2-a_3^2)) \end{aligned} $$ После раскрытия скобок, упрощения и приведения подобных получаем выражение для $\left\|A\right\|$: $$ \begin{array}{c} \left\|A\right\|=a_0^4+a_1^4+a_2^4+a_3^4+2a_0^2a_1^2+2a_0^2a_3^2+ \\ 2a_0^2a_2^2+2a_1^2a_2^2+2a_1^2a_3^2+2a_2^2a_3^2 \end{array} $$ Полученная форма очень напоминает формулу квадрата суммы: $$ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab $$ но для случая квадрата суммы не двух, а четырех чисел. Проверим эту формулу непосредственно: $$ \begin{array}{c} (a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2) =\\ = a_0^4+a_0^2a_1^2+a_0^2a_2^2+a_0^2a_3^2+a_1^2a_0^2+ a_1^4+a_1^2a_2^2+a_1^2a_3^2+\\ + a_2^2a_0^2+a_2^2a_1^2+a_2^4+a_2^2a_3^2+a_3^2a_0^2+ a_3^2a_1^2+a_3^2a_2^2+a_3^4 =\\ = a_0^4+a_1^4+a_2^4+a_3^4+2a_0^2a_1^2+2a_0^2a_3^2+ \\ 2a_0^2a_2^2+2a_1^2a_2^2+2a_1^2a_3^2+2a_2^2a_3^2 \end{array} $$ Таким образом, определитель матрицы представления кватерниона 4x4 равен четвертой степени модуля кватерниона: $$ \left\|A\right\|=\left|a\right|^4 $$ Несмотря на то, что определитель есть форма 4-го порядка, а не второго, никакой новой информации по сравнению с квадратом модуля он не содержит.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Распишем это произведение в компонентах, чтобы найти соответствие коэффициентам $$ \begin{aligned} &(a_0+ia_1+ja_2+ka_3)(x_0+ix_1+jx_2+kx_3)=\\ &=a_0x_0+ia_0x_1+ja_0x_2+ka_0x_3+\\ &+ia_1x_0-a_1x_1+ka_1x_2-ja_1x_3+\\ &+ja_2x_0-ka_2x_1-a_2x_2+ia_2x_3+\\ &+ka_3x_0+ja_3x_1-ia_3x_2-a_3x_3 \end{aligned} $$ Это общее произведение кватернионов есть кватернион как сумма компонентов. Выделим равенства отдельных компонент: $$ \left\{ \begin{aligned} &x'_0=a_0x_0-a_1x_1-a_2x_2-a_3x_3\\ &x'_1=a_1x_0+a_0x_1-a_3x_2+a_2x_3\\ &x'_2=a_2x_0+a_3x_1+a_0x_2-a_1x_3\\ &x'_3=a_3x_0-a_2x_1+a_1x_2+a_0x_3 \end{aligned} \right. $$ Здесь были также упорядочены члены выражений по возрастанию $x_i$.
Эта система уравнений соответствует произведению матрицы $A_{ij}$ на вектор-столбец $x_i$, в результате которого получается вектор-столбец $x'_i$.
Коэффициенты матрицы $A_{ij}$ составляются из системы уравнений из компонентов кватерниона $a_i$: $$ A=\left( \begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) $$ Соответствие компонентов кватерниона $a$ коэффициентам матрицы $A$ имеет то свойство, что если есть кватернионное выражение и каждому кватерниону мы поставим в соответствие матрицу 4x4 по этому правилу, то выражение никак не изменится кроме того, что станет выражением не для кватернионов, а для матриц 4x4.
Для нахождения соответствия отдельным мнимым единицам выделим в матрице $A$ отдельные матрицы $A_i$ так, чтобы выполнялись условия: $$ A=\sum\limits_ia_iA_i $$ Для этого просто выпишем матрицу $A$ с подстановкой либо нулей либо единиц: $$ A = a_0 \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ + a_1 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ $$ + a_2 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ $$ + a_3 \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Это разложение дает отдельные матрицы, иначе называемые базовыми, им можно поставить в соответствие мнимые единицы кватернионов и тогда кватернионное выражение с компонентами кватернионов будет заменено на в точности ему соответствующее матричное выражение с теми же компонентами в виде коэффициентов матриц.
Полный перечень замен мнимых единиц кватернионов на матрицы 4x4: $$ 1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ i \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ $$ j \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ $$ k \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Это лишь один из возможных наборов матриц. Другие наборы получаются при перестановке строк в исходной системе уравнений. Само упорядочение этих строк и есть определенный произвол в выборе соответствия мнимых единиц базисным матрицам. И в различных источниках могут встретиться иные наборы матриц. При построении и использовании таких соответствий, естественно, необходимо соблюдать одни и те же правила и соответствие одному и тому же набору базисных матриц.
В приведенном выводе сопоставления компонентов кватерниона коэффициентам матрицы не был использован второй вариант произведения кватернионов: $$ x'=xa $$ Вывод, кроме того, полагался на то, что матрица умножается на вектор-столбец и для такого произведения обратного произведения получиться на первый взгляд не должно.
В действительности, для матриц определено не только произведение матрицы на вектор-столбец, но и произведение матриц. В приведенном выводе мы, безусловно, можем заменить $x$ не на вектор-столбец, а на матрицу того же вида, что и $A$, но условно умноженную на единичную матрицу. Или, другими словами, если кватернион $x'$ есть преобразование кватерниона $x$ путем умножения на $a$, то и сам кватернион $x$ есть результат такого же преобразования, и вместо вектор-столбцов и матриц мы переходим от кватернионов к использованию только матриц 4x4.
При выводе матриц представления кватернионов мы начали с опоры на то, что произведение гиперкомплексных чисел есть линейная комбинация компонент как первого, так и второго сомножителя и потому преобразование умножения можно заменить на матрицу. Но спорность такой методики состоит в том, что существуют неассоциативные гиперкомплексные алгебры, например, октавы. Алгебра октав и производные от нее, рассмотрение их свойств выходят за рамки данной книги.
Ранее мы получили матричное 4x4 представление кватерниона, приведем его еще раз: $$ A=\left( \begin{array}{rrrr} a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 \\ a_1 & a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_1 & a_0 \end{array} \right) $$ Обращает на себя внимание тот факт, что норма кватерниона определяется формой второго порядка, а здесь матрица 4x4 и, следовательно, её определитель должен быть формой 4-го порядка. Найдем её непосредственное выражение в компонентах кватерниона, или в коэффициентах $a_i$: $$ \begin{aligned} \left\|A\right\| & = a_0\left| \begin{array}{rrr} a_0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & a_0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & a_0 \\ \end{array} \right| + a_1\left| \begin{array}{rrr} a_1 & -a_3 & a_2 \\ a_2 & a_0 & -a_1 \\ a_3 & a_1 & a_0 \\ \end{array} \right| - \\ & -a_2\left| \begin{array}{rrr} a_1 & a_0 & a_2 \\ a_2 & a_3 & -a_1 \\ a_3 & -a_2 & a_0 \\ \end{array} \right| + a_3\left| \begin{array}{rrr} a_1 & a_0 & -a_3 \\ a_2 & a_3 & a_0 \\ a_3 & -a_2 & a_1 \\ \end{array} \right| = \\ & = a_0(a_0(a_0^2+a_1^2)+a_3(a_3a_0-a_1a_2)+a_2(a_3a_1+a_2a_0))+ \\ & + a_1(a_1(a_3a_0-a_2a_1)+a_3(a_2a_0+a_3a_1)+a_2(a_2a_1-a_3a_0))-\\ & - a_2(a_1(a_3a_0-a_2a_1)-a_0(a_2a_0+a_3a_1)+a_2(-a_2^2-a_3^2))+\\ & + a_3(a_1(a_3a_1+a_2a_0)-a_0(a_2a_1-a_3a_0)-a_3(-a_2^2-a_3^2)) \end{aligned} $$ После раскрытия скобок, упрощения и приведения подобных получаем выражение для $\left\|A\right\|$: $$ \begin{array}{c} \left\|A\right\|=a_0^4+a_1^4+a_2^4+a_3^4+2a_0^2a_1^2+2a_0^2a_3^2+ \\ 2a_0^2a_2^2+2a_1^2a_2^2+2a_1^2a_3^2+2a_2^2a_3^2 \end{array} $$ Полученная форма очень напоминает формулу квадрата суммы: $$ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab $$ но для случая квадрата суммы не двух, а четырех чисел. Проверим эту формулу непосредственно: $$ \begin{array}{c} (a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2) =\\ = a_0^4+a_0^2a_1^2+a_0^2a_2^2+a_0^2a_3^2+a_1^2a_0^2+ a_1^4+a_1^2a_2^2+a_1^2a_3^2+\\ + a_2^2a_0^2+a_2^2a_1^2+a_2^4+a_2^2a_3^2+a_3^2a_0^2+ a_3^2a_1^2+a_3^2a_2^2+a_3^4 =\\ = a_0^4+a_1^4+a_2^4+a_3^4+2a_0^2a_1^2+2a_0^2a_3^2+ \\ 2a_0^2a_2^2+2a_1^2a_2^2+2a_1^2a_3^2+2a_2^2a_3^2 \end{array} $$ Таким образом, определитель матрицы представления кватерниона 4x4 равен четвертой степени модуля кватерниона: $$ \left\|A\right\|=\left|a\right|^4 $$ Несмотря на то, что определитель есть форма 4-го порядка, а не второго, никакой новой информации по сравнению с квадратом модуля он не содержит.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий