Полимодули скалярно и векторно сопряженных

При скалярном и векторном сопряжении у гиперкомплексного числа меняются знаки у компонент, в образовании которых участвуют соответствующая скалярная или векторная мнимая единица. В случае если мнимая единица всего одна, то она может считаться и скалярной и векторной.

Полимодуль тернарной алгебры

Любопытным применением понятия полимодуля, матричного представления и их свойств может стать их приложение к тернарной алгебре. Эта алгебра вызывает споры на тему является ли она самостоятельной или изоморфна алгебре комплексных чисел.

С одной стороны, при определении алгебры предполагается, что её образующие единицы являются линейно независимыми, а с другой стороны они ведут себя как зависимые.

Отношение полимодуля и модуля

И для полимодулей и для модулей гиперкомплексных чисел выполняется соотношение: их значение для произведения равно произведению их значений по отдельности.

Единственность обратных

Исследование полимодулей гиперкомплексных чисел выявило возможность получить достаточно просто значение обратное заданному, и сделать это аналитически. И у этого способа есть важное следствие.

Левый и правый полимодули

Исследуем, что происходит когда вместо умножения матрицы на то что справа мы умножим другим способом.

Полимодули и обратные

В гиперкомплексных алгебрах понятие обратной величины обычно определяют через алгебраически сопряженную величину:

Отрицательные полимодули

Для полимодулей положительность значения не есть обязательное условие. Существуют примеры, когда полимодуль может быть и отрицательным, хотя и является полиномом 2-го порядка (к алгебре, имеющей полимодуль первого порядка можно отнести алгебру действительных чисел).

Полимодули в гиперкомплексных алгебрах

Продолжая исследование матричных представлений гиперкомплексных чисел, можно обнаружить, что определители матриц связаны между собой соотношением, аналогичным соотношению для модулей.

А именно: модуль произведения равен произведению модулей. Для матриц выполняется практически то же самое: определитель произведения равен произведению определителей. И, хотя матричное представление октав и неполноценно в отношении правил коммутирования, это соотношение выполняется и для них, а именно: определитель матричного представления произведения октав равен произведению определителей матричных представлений множимых.

О матричном представлении октав

Октавы -- следующие после кватернионов гиперкомплексные числа с делением. Они относятся к некоммутативным, неассоциативным, но альтернативным числам.

Попробуем найти и для них матричное представление. С одной стороны, матрицы являются ассоциативными объектами, а с другой стороны структурные коэффициенты октав должны задавать произведение как линейную комбинацию.

Правое и левое матричное уравнения

К линейным матричным уравнениям относят уравнения вида

AX=B
Здесь предполагается, что X - неизвестное, а A и B - известные.

Транспонирование матричного представления

При исследовании матричного представления гиперкомплексных чисел обратил на себя внимание один факт, а именно - чему соответствует транспонирование матричного представления.

Точка сближения перекрещивающихся прямых

Опишу, как производится обработка снимков с дронов не с точки зрения пользователя (на уровне выберите пункт меню и отметьте нужные заклинания), а с другой стороны монитора, как устроена собственно математика. Одна из операций - определить по связующей точке где она находится на Земле, какой широте - долготе - высоте она соответствует.

Получив снимки с беспилотников или дронов, мы имеем сами снимки, паспортные данные на съемочную камеру и простейшую телеметрию. По паспорту можем определить фокусное расстояние (интересует какая есть, а не приведенное к 35 мм кадру), физические ширину и высоту ПЗС, количество пикселов по ширине и высоте. По телеметрии можем определить широту и долготу в градусах, высоту в метрах. Вместе с ними указывается в какой системе координат они даются (на каком эллипсоиде), обычно это WGS-84.

Почему космические ракеты такие большие?

Почему космические ракеты такие большие, а может можно использовать меньшие? Попробуем разобраться.