пятница, 16 декабря 2016 г.

Матричное представление 2x2 кватернионов

В предыдущем разделе было описано как можно представить кватернионы матрицами. Получились матрицы размером 4x4, что для 4-мерного и 4-компонентного числа выглядит несколько расточительным. Конечно, есть интерес определить, возможно ли представить кватернион, который сам 4-компонентный, также 4-х компонентной матрицей, или матрицей 2x2.

Для этого мы должны свести исходную систему уравнений к системе 2-х уравнений и найти такую точку зрения на кватернионы, с которой они выглядят как 2-х компонентные числа.

Очевидно, что сама процедура удвоения дает это решение. Если вернуться к процедуре удвоения алгебры комплексных чисел, то кватернион получается путем операции: $$ \begin{aligned} z &= z_0 + iz_1 + jz_2 + kz_3 = \\ &= (z_0 + iz_1) + (z_2 + iz_3)j \end{aligned} $$ Введем обозначение: $$ \begin{aligned} y_1 &= z_0 + iz_1 \\ y_2 &= z_2 + iz_3 \end{aligned} $$ Тогда кватернион $z$ может быть представлен в виде произведения $$ z = y_1 + y_2j $$ Такое разложение также называется симплектическим.

Здесь нужно не забывать, что это не комплексное число и единица $j$ не коммутирует с такими нововведенными компонентами $y_1$ и $y_2$.

Теперь распишем произведение кватернионов $$ x'=ax $$ где $x$, $a$, $x'$ -- кватернионы, после введенной замены: $$ \begin{aligned} x' = & z'_1 + z'_2j \\ a = & b_1 + b_2j \\ x = & z_1 + z_2j \end{aligned} $$ где $z'_1$, $z'_2$, $b_1$, $b_2$, $z_1$ и $z_2$ -- комплексные числа, но не коммутирующие по умножению с единицей $j$, и на этот факт обратим внимание: $$ \begin{aligned} x' &= z'_1 + z'_2j = (b_1 + b_2j)(z_1 + z_2j) = \\ &= b_1z_1 + b_1z_2j + b_2jz_1+b2jz_2j \end{aligned} $$ Для кватернионных мнимых единиц верно равенство коммутирования со скалярной величиной и с такой же мнимой единицей и антикоммутирования с другими мнимыми единицами: $$ j(a+ib)=ja-kb=(a-ib)j $$ Учтем это свойство в упрощении выражения: $$ \begin{aligned} b_2jz_1 &= b2\bar{z}_1j \\ b_2jz_2j &= -b_2\bar{z}_2 \end{aligned} $$ Подставив в исходное уравнение, получим: $$ z'_1+z'_2j=b_1z_1+b_2z_2j+b_2\bar{z}_1j-b_2\bar{z}_2 $$ Группируя по мнимой единице $j$, и приравнивая компоненты при одинаковых мнимых единицах, получаем искомую систему 2-х уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} & z'_1=b_1z_1-b_2\bar{z}_2 \\ & z'_2=b_2\bar{z}_1+b_1z_2 \end{aligned} \right. $$ Далее, в отличие от предыдущего вывода, где использовалась эквивалентность системы уравнений произведению матрицы на вектор-столбец, мы используем произведение вектора-строки на матрицу в виде: $$ \left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} x_1A_{11}+x_2A_{21} & x_1A_{12} + x_2A_{22} \end{array} \right) $$ Сопоставив формальное определение произведения вектора-строки на матрицу с нашей найденной системой уравнений, получаем эквивалентность её произведению вектора-строки на матрицу: $$ \left( \begin{array}{cc} z'_1 & z'_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{array} \right) $$ Найденная матрица 2x2 и есть матричное 2x2 представление кватерниона, или такое представление, на которое могут быть заменены все кватернионы кватернионного выражения и выражение не изменится. Или, другими словами, если мы перейдем не к вектор-строкам и вектор-столбцам, а только к матрицам 2x2. Нужно отметить, что в матрице используется уже не кватернионная мнимая единица $i$, а уже обычная мнимая единица, и матрица, таким образом, есть матрица над полем комплексных чисел.

Учтем введенную ранее подстановку компонент: $$ \begin{aligned} & z_1 = x_0 + ix_1 \\ & z_2 = x_2 + ix_3 \end{aligned} $$ И получим коэффициенты искомой матрицы, выраженные через компоненты кватерниона: $$ \left( \begin{array}{cc} z_1 & z_2 \\ -\bar{z}_2 & \bar{z}_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} x_0 + ix_1 & x_2 + ix_3 \\ -x_2 + ix_3 & x_0 - ix_1 \end{array} \right) $$ Из полученной матрицы нужно получить базисные матрицы для компонентов $x_i$, в виде матриц с коэффициентами, не зависящими от $x_i$: $$ \begin{aligned} &\left( \begin{array}{cc} x_0 + ix_1 & x_2 + ix_3 \\ -x_2 + ix_3 & x_0 - ix_1 \end{array} \right) = \\ &=x_0 \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) + x_1 \left( \begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right) + x_2 \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) + x_3 \left( \begin{array}{cc} 0 & i \\ i & 0 \end{array} \right) \end{aligned} $$ Полученные таким образом базисные матрицы и реализуют одно из матричных представлений кватернионов размером 2x2: $$ 1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ i \Leftrightarrow \left( \begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right) $$ $$ j \Leftrightarrow \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ $$ k \Leftrightarrow \left( \begin{array}{cc} 0 & i \\ i & 0 \end{array} \right) $$ Нужно помнить, что этот набор матриц есть лишь одно из возможных представлений кватернионов. Другие наборы могут быть получены перестановкой строк в исходной системе уравнений и циклической перестановкой матриц, представляющих тройку единиц ($i$, $j$, $k$).

Полученные матрицы в точности подходят под коммутационные равенства для мнимых единиц кватернионов. Нужно помнить при этом, что матричным представлением кватернионов является не единственный набор матриц, а любой, который может быть выведен с учетом описанных выше свобод.

На основе таких наборов строятся наборы матриц, представляющие, в частности, матрицы Паули. У матриц Паули $\sigma_i$ есть несколько представлений, но к наиболее часто используемому относят такое: $$ \sigma_0=\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma_3^2=E $$ $$ \sigma_0=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ \sigma_1=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$ $$ \sigma_2=\left( \begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array} \right) $$ $$ \sigma_3=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) $$ Сравнив с полученным ранее набором матриц, легко видеть, что этот (один из возможных) набор матриц Паули получается из матриц, представляющих единицы кватерниона, путем перестановки их порядка и умножения на $i$.

Точно также из такого базисного набора комплекснозначных матриц 2x2 получается набор матриц Кэли.

Ранее мы получили матричное 2x2 представление кватернионов. Причем матрицы комплекснозначные: $$ z=\left(\begin{array}{cc} z_0+iz_1 & z_2+iz_3 \\ -z_2+iz_3 & z_0-iz_1 \\ \end{array}\right) $$ Обращает на себя внимание факт, что определитель этой матрицы должен соотноситься с модулем кватерниона $z$. Найдем определитель через компоненты кватерниона $z_i$: $$ \begin{array}{c} \left\|z\right\|=(z_0+iz_1)(z_0-iz_1)-(-z_2+iz_3)(z_2+iz_3)= \\ = z_0^2+z_1^2-(-z_2^2-z_3^2) =\\ =z_0^2+z_1^2+z_2^2+z_3^2 \end{array} $$ С другой стороны, это же выражение равно квадрату модуля кватерниона $z$: $$ \left\|z\right\|=\left|z\right|^2 $$ Определитель матрицы $z$ есть форма 2-го порядка, но всего лишь повторяет выражение для модуля кватерниона $z$, давая ее вторую степень.

Комментариев нет:

Отправить комментарий