В предыдущем разделе было описано как можно представить кватернионы матрицами.
Получились матрицы размером 4x4, что для 4-мерного и 4-компонентного числа
выглядит несколько расточительным. Конечно, есть интерес определить, возможно ли
представить кватернион, который сам 4-компонентный, также 4-х компонентной
матрицей, или матрицей 2x2.
Для этого мы должны свести исходную систему уравнений к системе 2-х уравнений и найти такую точку зрения на кватернионы, с которой они выглядят как 2-х компонентные числа.
Очевидно, что сама процедура удвоения дает это решение. Если вернуться к процедуре удвоения алгебры комплексных чисел, то кватернион получается путем операции: z=z0+iz1+jz2+kz3==(z0+iz1)+(z2+iz3)j Введем обозначение: y1=z0+iz1y2=z2+iz3 Тогда кватернион z может быть представлен в виде произведения z=y1+y2j Такое разложение также называется симплектическим.
Здесь нужно не забывать, что это не комплексное число и единица j не коммутирует с такими нововведенными компонентами y1 и y2.
Теперь распишем произведение кватернионов x′=ax где x, a, x′ -- кватернионы, после введенной замены: x′=z′1+z′2ja=b1+b2jx=z1+z2j где z′1, z′2, b1, b2, z1 и z2 -- комплексные числа, но не коммутирующие по умножению с единицей j, и на этот факт обратим внимание: x′=z′1+z′2j=(b1+b2j)(z1+z2j)==b1z1+b1z2j+b2jz1+b2jz2j Для кватернионных мнимых единиц верно равенство коммутирования со скалярной величиной и с такой же мнимой единицей и антикоммутирования с другими мнимыми единицами: j(a+ib)=ja−kb=(a−ib)j Учтем это свойство в упрощении выражения: b2jz1=b2ˉz1jb2jz2j=−b2ˉz2 Подставив в исходное уравнение, получим: z′1+z′2j=b1z1+b2z2j+b2ˉz1j−b2ˉz2 Группируя по мнимой единице j, и приравнивая компоненты при одинаковых мнимых единицах, получаем искомую систему 2-х уравнений: {z′1=b1z1−b2ˉz2z′2=b2ˉz1+b1z2 Далее, в отличие от предыдущего вывода, где использовалась эквивалентность системы уравнений произведению матрицы на вектор-столбец, мы используем произведение вектора-строки на матрицу в виде: (x1x2)(A11A12A21A22)=(x1A11+x2A21x1A12+x2A22) Сопоставив формальное определение произведения вектора-строки на матрицу с нашей найденной системой уравнений, получаем эквивалентность её произведению вектора-строки на матрицу: (z′1z′2)=(b1b2)(z1z2−ˉz2ˉz1) Найденная матрица 2x2 и есть матричное 2x2 представление кватерниона, или такое представление, на которое могут быть заменены все кватернионы кватернионного выражения и выражение не изменится. Или, другими словами, если мы перейдем не к вектор-строкам и вектор-столбцам, а только к матрицам 2x2. Нужно отметить, что в матрице используется уже не кватернионная мнимая единица i, а уже обычная мнимая единица, и матрица, таким образом, есть матрица над полем комплексных чисел.
Учтем введенную ранее подстановку компонент: z1=x0+ix1z2=x2+ix3 И получим коэффициенты искомой матрицы, выраженные через компоненты кватерниона: (z1z2−ˉz2ˉz1)=(x0+ix1x2+ix3−x2+ix3x0−ix1) Из полученной матрицы нужно получить базисные матрицы для компонентов xi, в виде матриц с коэффициентами, не зависящими от xi: (x0+ix1x2+ix3−x2+ix3x0−ix1)==x0(1001)+x1(i00−i)+x2(01−10)+x3(0ii0) Полученные таким образом базисные матрицы и реализуют одно из матричных представлений кватернионов размером 2x2: 1⇔(1001) i⇔(i00−i) j⇔(01−10) k⇔(0ii0) Нужно помнить, что этот набор матриц есть лишь одно из возможных представлений кватернионов. Другие наборы могут быть получены перестановкой строк в исходной системе уравнений и циклической перестановкой матриц, представляющих тройку единиц (i, j, k).
Полученные матрицы в точности подходят под коммутационные равенства для мнимых единиц кватернионов. Нужно помнить при этом, что матричным представлением кватернионов является не единственный набор матриц, а любой, который может быть выведен с учетом описанных выше свобод.
На основе таких наборов строятся наборы матриц, представляющие, в частности, матрицы Паули. У матриц Паули σi есть несколько представлений, но к наиболее часто используемому относят такое: σ0=σ21=σ22=σ23=E σ0=(1001) σ1=(0110) σ2=(0−ii0) σ3=(100−1) Сравнив с полученным ранее набором матриц, легко видеть, что этот (один из возможных) набор матриц Паули получается из матриц, представляющих единицы кватерниона, путем перестановки их порядка и умножения на i.
Точно также из такого базисного набора комплекснозначных матриц 2x2 получается набор матриц Кэли.
Ранее мы получили матричное 2x2 представление кватернионов. Причем матрицы комплекснозначные: z=(z0+iz1z2+iz3−z2+iz3z0−iz1) Обращает на себя внимание факт, что определитель этой матрицы должен соотноситься с модулем кватерниона z. Найдем определитель через компоненты кватерниона zi: ‖z‖=(z0+iz1)(z0−iz1)−(−z2+iz3)(z2+iz3)==z20+z21−(−z22−z23)==z20+z21+z22+z23 С другой стороны, это же выражение равно квадрату модуля кватерниона z: ‖z‖=|z|2 Определитель матрицы z есть форма 2-го порядка, но всего лишь повторяет выражение для модуля кватерниона z, давая ее вторую степень.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Для этого мы должны свести исходную систему уравнений к системе 2-х уравнений и найти такую точку зрения на кватернионы, с которой они выглядят как 2-х компонентные числа.
Очевидно, что сама процедура удвоения дает это решение. Если вернуться к процедуре удвоения алгебры комплексных чисел, то кватернион получается путем операции: z=z0+iz1+jz2+kz3==(z0+iz1)+(z2+iz3)j Введем обозначение: y1=z0+iz1y2=z2+iz3 Тогда кватернион z может быть представлен в виде произведения z=y1+y2j Такое разложение также называется симплектическим.
Здесь нужно не забывать, что это не комплексное число и единица j не коммутирует с такими нововведенными компонентами y1 и y2.
Теперь распишем произведение кватернионов x′=ax где x, a, x′ -- кватернионы, после введенной замены: x′=z′1+z′2ja=b1+b2jx=z1+z2j где z′1, z′2, b1, b2, z1 и z2 -- комплексные числа, но не коммутирующие по умножению с единицей j, и на этот факт обратим внимание: x′=z′1+z′2j=(b1+b2j)(z1+z2j)==b1z1+b1z2j+b2jz1+b2jz2j Для кватернионных мнимых единиц верно равенство коммутирования со скалярной величиной и с такой же мнимой единицей и антикоммутирования с другими мнимыми единицами: j(a+ib)=ja−kb=(a−ib)j Учтем это свойство в упрощении выражения: b2jz1=b2ˉz1jb2jz2j=−b2ˉz2 Подставив в исходное уравнение, получим: z′1+z′2j=b1z1+b2z2j+b2ˉz1j−b2ˉz2 Группируя по мнимой единице j, и приравнивая компоненты при одинаковых мнимых единицах, получаем искомую систему 2-х уравнений: {z′1=b1z1−b2ˉz2z′2=b2ˉz1+b1z2 Далее, в отличие от предыдущего вывода, где использовалась эквивалентность системы уравнений произведению матрицы на вектор-столбец, мы используем произведение вектора-строки на матрицу в виде: (x1x2)(A11A12A21A22)=(x1A11+x2A21x1A12+x2A22) Сопоставив формальное определение произведения вектора-строки на матрицу с нашей найденной системой уравнений, получаем эквивалентность её произведению вектора-строки на матрицу: (z′1z′2)=(b1b2)(z1z2−ˉz2ˉz1) Найденная матрица 2x2 и есть матричное 2x2 представление кватерниона, или такое представление, на которое могут быть заменены все кватернионы кватернионного выражения и выражение не изменится. Или, другими словами, если мы перейдем не к вектор-строкам и вектор-столбцам, а только к матрицам 2x2. Нужно отметить, что в матрице используется уже не кватернионная мнимая единица i, а уже обычная мнимая единица, и матрица, таким образом, есть матрица над полем комплексных чисел.
Учтем введенную ранее подстановку компонент: z1=x0+ix1z2=x2+ix3 И получим коэффициенты искомой матрицы, выраженные через компоненты кватерниона: (z1z2−ˉz2ˉz1)=(x0+ix1x2+ix3−x2+ix3x0−ix1) Из полученной матрицы нужно получить базисные матрицы для компонентов xi, в виде матриц с коэффициентами, не зависящими от xi: (x0+ix1x2+ix3−x2+ix3x0−ix1)==x0(1001)+x1(i00−i)+x2(01−10)+x3(0ii0) Полученные таким образом базисные матрицы и реализуют одно из матричных представлений кватернионов размером 2x2: 1⇔(1001) i⇔(i00−i) j⇔(01−10) k⇔(0ii0) Нужно помнить, что этот набор матриц есть лишь одно из возможных представлений кватернионов. Другие наборы могут быть получены перестановкой строк в исходной системе уравнений и циклической перестановкой матриц, представляющих тройку единиц (i, j, k).
Полученные матрицы в точности подходят под коммутационные равенства для мнимых единиц кватернионов. Нужно помнить при этом, что матричным представлением кватернионов является не единственный набор матриц, а любой, который может быть выведен с учетом описанных выше свобод.
На основе таких наборов строятся наборы матриц, представляющие, в частности, матрицы Паули. У матриц Паули σi есть несколько представлений, но к наиболее часто используемому относят такое: σ0=σ21=σ22=σ23=E σ0=(1001) σ1=(0110) σ2=(0−ii0) σ3=(100−1) Сравнив с полученным ранее набором матриц, легко видеть, что этот (один из возможных) набор матриц Паули получается из матриц, представляющих единицы кватерниона, путем перестановки их порядка и умножения на i.
Точно также из такого базисного набора комплекснозначных матриц 2x2 получается набор матриц Кэли.
Ранее мы получили матричное 2x2 представление кватернионов. Причем матрицы комплекснозначные: z=(z0+iz1z2+iz3−z2+iz3z0−iz1) Обращает на себя внимание факт, что определитель этой матрицы должен соотноситься с модулем кватерниона z. Найдем определитель через компоненты кватерниона zi: ‖z‖=(z0+iz1)(z0−iz1)−(−z2+iz3)(z2+iz3)==z20+z21−(−z22−z23)==z20+z21+z22+z23 С другой стороны, это же выражение равно квадрату модуля кватерниона z: ‖z‖=|z|2 Определитель матрицы z есть форма 2-го порядка, но всего лишь повторяет выражение для модуля кватерниона z, давая ее вторую степень.
К содержанию: Матричные представления гиперкомплексных чисел
Комментариев нет:
Отправить комментарий