Начала анализа в области дуальных чисел

Введение

Среди алгебр Кэли есть несколько алгебр, являющихся несколько экзотичными и одновременно с тем обнаруживающих довольно любопытные свойства. С одной стороны, их экзотичность и малоизвестность могут отодвинуть их от практического использования, с другой стороны, их свойства могут заинтересовать не только математиков, но и инженеров, и приблизить тем самым их применение в тех задачах, где это целесообразно.

Извлечение корней в гиперкомплексных числах

Введение

В этой статье речь пойдет об операции, являющейся парной и обратной к операции произведения, в случае если в произведении участвуют одинаковые числа. Речь пойдет о взятии корня. А именно, если известно число $A$ такое, что

Потенцирование дуальных кватернионов

Рассмотрим операцию потенцирования дуальных кватернионов и её результат в покомпонентной записи.

Элементарные функции матриц

Введение

Рассмотрение свойств гиперкомплексных чисел показало, что в принципе возможно решение весьма необычной задачи. А именно, пусть дана квадратная матрица с заданными коэффициентами. Требуется найти значение функции от этой матрицы. Весьма распространенной задачей является, например, отыскание матричной экспоненты.

Скалярное произведение матриц

Книга о преобразованиях гиперкомплексных чисел после ее выхода продолжает дописываться и в ней появились интересные параграфы, один из которых представляю здесь.

Если продолжить принцип взаимного отношения на алгебры другого вида, не на гиперкомплексные числа, то потребуется использовать алгебры, в которых определена операция умножения и взятия обратного элемента к заданному.

Обе эти категории существуют в алгебре матриц. Для матриц мы имеем и операцию произведения матриц, и операцию получения обратной к заданной так, что результат принадлежит к той же алгебре.

Задача 7. Градиент скалярного произведения

Задача: Описать выражение градиента скалярного произведения.

В настоящее время выражение градиента скалярного произведения дается для случая трехмерного декартова пространства. Градиент скалярного произведения в нем выражается с использованием в том числе роторов и векторных произведений. Как ротор, так и векторное произведение корректно определены лишь для трехмерного пространства. Задача состоит в том, чтобы описать выражение градиента скалярного произведения не используя особенностей трехмерного пространства.