Стабилизация переопределенной системы уравнений

В предыдущем посте "Определение аффинного преобразования методом наименьших квадратов" рассматривалось решение задачи о поиске наилучшего аффинного преобразования для притягивания одного набора точек к другому. Такая задача часто используется в геопривязке изображений, например спутниковых снимков по опорным точкам.на опорном геопривязанном изображении. Решение искалось в общем 3-х мерном варианте.

Первые же тестовые испытания этого решения показывают, что искомое преобразование не находится, поскольку система является переопределенной. В частности, при подстановке всех нулевых высот ($z=0$, $z'=0$) получаем несколько одинаковых уравнений в системе. Естественно, что такая система уравнений не решается. Попробуем разобраться.

Метрический тензор и аффинное преобразование

В обработке изображений стоит актуальная задача. В общей сцене участвует несколько объектов, для каждого задается некоторая точка привязки и эта точка привязки связывает общие, или абсолютные, координаты и внутренние, нормированные для каждого изображения.

Для перехода к внутренним нормированным используется смещение до точки привязки и масштабирование. Смещение и масштабирование задаются для каждого из объектов сцены. Та же формулировка используется в ортотрансформировании спутниковых снимков с использованием коэффициентов RPC.

Проблема состоит в том, что манипуляции с общей сценой или в случае со спутниковыми снимками с маршрутом съемки приводят к выполнению преобразований, которые необходимо произвести, в абсолютном пространстве. Но из этих преобразований необходимо получить масштабирования по осям для каждого такого преобразования.

Гиперкомплексные числа и неопределенные интегралы

Для нахождения неопределенных интегралов, или отыскания такой функции, производная которой равна заданной, используется много различных методов. Один из них - это просто брать большой набор различных функций, для каждой из них брать производную и составлять таблицу интегралов. В таком методе необычную роль играют гиперкомплексные числа. Разберемся подробнее.