пятница, 9 декабря 2016 г.

Матричное представление 4x4 бикомплексных чисел

Для получения матричного представления бикомплексных чисел раскроем произведение двух бикомплексных чисел: $$ z=xy $$ Предварительно определим (или зафиксируем) порядок коэффициентов чисел: $$ x=x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3 $$ И в этих обозначениях раскроем покомпонентно произведение: $$ \begin{array}{c} z_0+Iiz_1+Iz_2+iz_3= \\ =(x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3)(y_0+Iiy_1+Iy_2+iy_3)= \\ =x_0y_0+Iix_0y_1+Ix_0y_2+ix_0y_3+\\ +Iix_1y_0+x_1y_1-ix_1y_2-Ix_1y_3+\\ +Ix_2y_0-ix_2y_1-x_2y_2+Iix_2y_3+\\ +ix_3y_0-Ix_3y_1+Iix_3y_2-x_3y_3 \end{array} $$ Поскольку равенство гиперкомплексных чисел означает их покомпонентное равенство, получаем систему уравнений, или набор уравнений, которые должны выполняться одновременно: $$ \left\{\begin{aligned} & z_0 = x_0y_0+x_1y_1-x_2y_2-x_3y_3 \\ & z_1 = x_1y_0+x_0y_1+x_3y_2+x_2y_3 \\ & z_2 = x_2y_0-x_3y_1+x_0y_2-x_1y_3 \\ & z_3 = x_3y_0-x_2y_1-x_1y_2+x_0y_3 \end{aligned}\right. $$ Эта система уравнений соответствует произведению матрицы $X$ на вектор-столбец $Y$, в результате которого получается вектор-столбец $Z$.

Матрица $X$ здесь равна: $$ X=\left(\begin{array}{rrrr} x_0 & x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & -x_3 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right) $$ Соответствие компонентов бикомплексного числа $x$ коэффициентам матрицы $X$ имеет то свойство, то если есть бикомплексно-значное выражение и каждому из чисел мы поставим в соответствие матрицу 4x4 по этому правилу, то выражение никак не изменится кроме того, что станет точно таким же выражением, но для матриц.

Разделим выражение для матрицы $X$ выраженной в компонентах бикомплексного числа $x_i$ на сумму произведений этих компонент на базисные матрицы: $$ X=\sum x_iX_i $$ Для этого просто выпишем матрицу $X$ с подстановкой либо нулей либо единиц: $$ X=x_0 \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) +x_1 \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)+ $$ $$ +x_2 \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) +x_3 \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Это разложение исходной матрицы $X$ дает запись через базисные матрицы.

Полный перечень замены мнимых единиц бикомплексных чисел на базисные матрицы, таким образом, такой: $$ 1\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ $$ Ii\Leftrightarrow\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right) $$ $$ I\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ $$ i\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$ Если вернуться к моменту составления системы уравнений $z=xy$, то очевидно, что сами уравнения могли быть записаны в другом порядке, и таких способов возможно несколько.

Поэтому и наборов базисных матриц для замены бикомплексных мнимых единиц может быть несколько. Любой из этих наборов равноправен по своим возможностям вышеприведенному. Понятно, что если была выполнена замена мнимых единиц на матрицы согласно одному из наборов, то и все дальнейшие операции, а также обратная замена должны выполняться с использованием именно этого же набора матриц.

Интересно, что также как и в представлении бикомплексных чисел комплекснозначными матрицами 2x2, несмотря на некоммутативность матриц в общем виде, используемые наборы матриц коммутативны по умножению. И этот факт можно использовать -- если где-либо встретятся матрицы из одного из наборов представлений бикомплексных чисел, то эти матрицы могут быть заменены на бикомплексные числа.

Теперь полюбопытствуем, чему равен определитель. $$ \left\|X\right\|= x_0 \left|\begin{array}{rrr} x_0 & x_3 & x_2 \\ -x_3 & x_0 & -x_1 \\ -x_2 & -x_1 & x_0 \end{array}\right| -x_1 \left|\begin{array}{rrr} x_1 & x_3 & x_2 \\ x_2 & x_0 & -x_1 \\ x_3 & -x_1 & x_0 \end{array}\right|- $$ $$ -x_2 \left|\begin{array}{rrr} x_1 & x_0 & x_2 \\ x_2 & -x_3 & -x_1 \\ x_3 & -x_2 & x_0 \end{array}\right| +x_3 \left|\begin{array}{rrr} x_1 & x_0 & x_3 \\ x_2 & -x_3 & x_0 \\ x_3 & -x_2 & -x_1 \end{array}\right| $$ Раскрывая определители меньшего ранга, скобки, упорядочивая компоненты произведений и приводя подобные, получаем: $$ \begin{array}{c} \left\|X\right\|= x_0^4+x_1^4+x_2^4+x_3^4-2x_0^2x_1^2+2x_0^2x_3^2+2x_0^2x_2^2+ \\ 2x_1^2x_2^2+2x_1^2x_3^2-2x_2^2x_3^2+8x_0x_1x_2x_3 \end{array} $$ Таким образом, определитель интересующего выражения, представлящего бикомплексное число в виде матрицы, в точности равен четвертой степени модуля бикомплексного числа.

Комментариев нет:

Отправить комментарий