Уравнения аналитичности функции одного бикватернионного переменного

Статья посвящена выявлению возможности построения для функции бикватернионного переменного уравнений аналитичности, аналогичных уравнениям Коши-Римана для функции комплексного переменного.

В статье не используются сколь-либо оригинальные математические идеи и принципы, поэтому автор вполне допускает предположение, что аналогичная работа могла быть выполнена и кем-то ранее, но в силу возможной малодоступности её она автору неизвестна. По этой же причине (неизвестности выполнения такой работы ранее) автор считает вполне уместным публикацию данной статьи в интернете.

Первоначальные исследования аналитичности функций кватернионного и бикватернионного переменного автор выполнял под впечатлением определённого успеха и магической притягательности уравнений Коши-Римана в 1990-м году. И совсем недавно (в 2001-м году) познакомился с работами В.В. Кассандрова в этом же направлении. Господин Кассандров использовал очень близкую форму дифференциала к моим старым работам. И, находясь под впечатлением от работ В.В. Кассандрова по аналитичности функций кватернионного переменного, решил в данной статье описать также и свою точку зрения.

Обратимся к первопричине вопроса, к выводу уравнений Коши-Римана. Эти уравнения входят в любой учебник по теории функций комплексного переменного и всем известны. Здесь же приведём их для лучшего понимания принципов.

Положим, что определена функция над полем комплексных чисел, причём таким образом, что в качестве переменной использует полное комплексное число и в алгоритме вычисления значения функции не предпринимается попыток выделения действительной и мнимой частей переменной. Положим также, что в алгоритме вычисления значений функции используются операции сложения и умножения, а также константные комплексные числа. Возможно, число таких операций бесконечно, и в этом случае рассматривается сходящийся ряд. Таким образом, в алгоритме вычисления функции присутствует только сумма произведений, либо функция может быть приведена к форме, содержащей лишь сумму произведений.

Используем дифференцирование по Лейбницу, имеющее свойства: $$d(a+b)=da+db$$ $$d(a\cdot b)=da\cdot b + a\cdot db$$ И, если определённая выше функция может быть представлена в виде $$f(z)=\sum\limits_n a_nz^n$$ то её дифференциал представляется, с использованием этих формул, также в виде ряда: $$df(z)=\sum\limits_k \alpha_k dz \beta_k$$ Здесь индексы суммирования и коэффициенты $\alpha_k$ и $\beta_k$ определяются заданной функцией, и коэффициенты $\alpha_k$ и $\beta_k$ являются, в свою очередь, также функциями переменной $z$. Например, для функции $f(z)=z^2$ дифференциал имеет вид: $$d(z^2)=dz\cdot z + z\cdot dz$$ В этом случае $k=2$, и коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ равны: $$\begin{array}{c} \alpha_1 = 1 \\ \beta_1 = z \\ \alpha_2 = z \\ \beta_2 = 1 \end{array}$$ Далее, при выводе уравнений Коши-Римана, используется тот факт, что комплексные числа коммутируют по умножению. В силу того, что коэффициенты $\alpha_k$, $\beta_k$ и дифференциал переменной $dz$ являются комплексными числами, справедливо: $$\alpha_k dz \beta_k = \alpha_k \beta_k dz = \gamma_k dz$$ Тогда дифференциал функции принимает вид: $$df(z) = \sum\limits_k \alpha_k dz \beta_k = \sum\limits_k\gamma_k dz$$ В этом выражении дифференциал $dz$ может быть вынесен из-под знака суммирования: $$df(z) = \left(\sum\limits_k\gamma_k\right)dz$$ Таким образом, для функции комплексного переменного существует такая же форма дифференциала, как и для функции действительного переменного. При этом величина $\sum\limits_k\gamma_k$ точно так же называется производной функции $f(z)$ по $z$: $$\frac{df}{dz} = \sum\limits_k\gamma_k = f'$$ Величина $f'$, в свою очередь, также является некоторой функцией от переменной $z$.

Важным является то, что этот вывод может быть применён к любым числам и функциям, для которых выполняется вышеуказанное условие, то есть для любого значения дифференциала $dz$. Применение таких же рассуждений и исследование полученной формы позволяет выявить взаимосвязи между частными производными компонент функции $f(z)$ по компонентам переменной $z$.

Рассмотрим классический случай, когда используется функция комплексного переменного. В этом случае дифференциал функции $df$, переменной $dz$ и производная $f'=g$ являются комплексными числами: $$df_0+idf_1 = (g_0 + ig_1)(dz_0 + idz_1)$$ Раскроем скобки: $$df_0 + idf_1 = g_0dz_0 + ig_1dz_0+ig_0dz_1-g_1dz_1$$ Придерживаясь определения, что два гиперкомплексных числа равны, если равны их компоненты, можем разделить это уравнение на два: $$\left\{ \begin{array}{rl} df_0 &= g_0dz_0 - g_1dz_1 \\ df_1 &= g_1dz_0 + g_0dz_1 \end{array} \right.$$ Рассматривая функцию $f(z)$ как две функции двух переменных, по теореме Вейерштрасса мы можем сопоставить эту систему с системой уравнений с частными производными: $$\left\{ \begin{array}{rl} df_0 &= \frac{\partial f_0}{\partial z_0} dz_0 + \frac{\partial f_1}{\partial z_1}dz_1 \\ df_1 &= \frac{\partial f_1}{\partial z_0}dz_0 + \frac{\partial f_1}{\partial z_1}dz_1 \end{array} \right.$$ Сличив частные производные с полученной системой, получим: $$\begin{array}{c} \frac{\partial f_0}{\partial z_0} = g_0 \\ \frac{\partial f_0}{\partial z_1} = - g_1 \\ \frac{\partial f_1}{\partial z_0} = g_1 \\ \frac{\partial f_1}{\partial z_1} = g_0 \end{array}$$ Или то же самое может быть представлено в виде двух равенств: $$\left\{ \begin{array}{rcl} g_0 &= \frac{\partial f_0}{\partial z_0} &= \frac{\partial f_1}{\partial z_1}\\ g_1 &= -\frac{\partial f_0}{\partial z_1} &= \frac{\partial f_1}{\partial z_0} \end{array} \right.$$ Эта система уравнений и называется системой уравнений Коши-Римана. Эти уравнения играют чрезвычайно важную роль как в самой теории функций комплексного переменного, так и в её практических приложениях. Например, из них могут быть получены уравнения, играющие чрезвычайно важную роль в теории потенциала. Продифференцируем $g_0$ по $z_0$: $$\frac{\partial^2f_0}{\partial z_0^2} = \frac{\partial^2f_1}{\partial z_0\partial z_1}$$ и $g_1$ по $z_1$: $$-\frac{\partial^2f_0}{\partial z_1^2} = \frac{\partial^2f_1}{\partial z_0\partial z_1}$$ Из системы этих двух уравнений следует, что $$\frac{\partial^2f_0}{\partial z_0^2} = -\frac{\partial^2f_0}{\partial z_1^2}$$ Или $$\frac{\partial^2f_0}{\partial z_0^2} + \frac{\partial^2f_0}{\partial z_1^2} = 0$$ Аналогично проверяется, что $$\frac{\partial^2f_1}{\partial z_0^2} + \frac{\partial^2f_1}{\partial z_1^2} = 0$$ Вывод уравнений потенциала приведён лишь как демонстрация важности системы уравнений Коши-Римана.

Прямо скажем, что хотелось бы иметь что-либо подобное и для функций некоммутативного переменного, желательно кватернионного, либо убедиться в невозможности чего-либо подобного. Возможно, дальнейший вывод будет слишком длинным, но это впечатление вызвано лишь большей размерностью переменного. Будем рассматривать бикватернионы, или комплексные кватернионы, и функцию одного бикватернионного переменного.

Используем то же самое определение функции, что и для комплексного переменного и те же правила дифференцирования по Лейбницу.

Повторив приведённые выше расуждения, придём к той же форме дифференциала: $$df(p) = \sum\limits_k\alpha_kdp\beta_k$$ В силу того, что бикватернионы некоммутативны по умножению, здесь мы уже не вправе сделать замену $$\alpha_kdp\beta_k=\gamma_kdp$$ Это равенство в общем случае неверно. Также мы не можем сделать замену $$\sum\limits_k\alpha_kdp\beta_k = AdpB$$ Попутно отметим, что обе эти невозможности приводят, например, к тому, что интеграл функции кватернионного переменного, вообще говоря, зависит от пути интегрирования, в отличие от функций коммутативного переменного.

Таким образом, в рассуждениях по аналогии с предыдущим случаем комплексных чисел мы наталкиваемся на весьма серьёзное препятствие.

Далее будем использовать тот факт, что произведение двух гиперкомплексных чисел является линейной комбинацией их компонентов, причём как выражение $ap$, так и $pb$ имеют своими компонентами линейные комбинации компонент как $a$, так и $p$, и $b$. По теореме о композиции линейных преобразований компоненты произведения $apb$ также являются линейными комбинациями компонент $p$ с коэффициентами, определяемыми компонентами $a_i$ и $b_i$ и законом произведения мнимых единиц их алгебры.

Зафиксируем нумерацию компонент чисел в алгебре бикватернионов: $$p = p_0+I ip_1 +I jp_2 +I kp_3 +I p_4 + ip_5 + jp_6 + kp_7$$ $$\alpha^k = \alpha^k_0+I i\alpha^k_1 +I j\alpha^k_2 +I k\alpha^k_3 + I \alpha^k_4 + i\alpha^k_5 + j\alpha^k_6 + k\alpha^k_7$$ $$\beta^k = \beta^k_0+I i\beta^k_1 +I j\beta^k_2 +I k\beta^k_3 + I \beta^k_4 + i\beta^k_5 + j\beta^k_6 + k\beta^k_7$$ $$f = f_0+I if_1 +I jf_2 +I kf_3 +I f_4 + if_5 + jf_6 + kf_7$$ Рассмотрев произведение $$df = \sum\limits_k\alpha_k dp \beta_k$$ можно увидеть, что упорядоченный набор компонент $df_i$ образуется линейной комбинацией из упорядоченного набора компонент $dp_i$.

Теперь нужно раскрыть скобки в правой части этого уравнения и привести подобные по правилу: два гиперкомплексных числа равны, если равны их компоненты. В статье я опущу этот вывод, поскольку образуется слишком длинная формула. Представляет определенную проблему уже само её переписывание, поскольку правая часть содержит $8\cdot 8\cdot 8=512$ членов суммирования. В 1990-м году для её получения я использовал компьютер. Полагаю, что поступил бы также и в 2002-м.

Представим набор компонент $df$ в виде 8-ми мерного вектора. Так же поступим с набором компонент $dp$. В силу того, что компоненты вектора $df$ образуются линейной комбинацией компонентов вектора $dp$, можем представить то же самое уравнение в матричной форме: $$df_i = A_{ij}\cdot dp_j$$ при этом традиционно подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.

При этом коэффициенты матрицы $A_{ij}$ с одной стороны являются суммами произведений компонент $\alpha_i$ и $\beta_i$ и, с другой стороны, являются соответствующими частными производными: $$A_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial p_j}$$ Интерес представляет выражение коэффициентов $A_{ij}$ через компоненты $\alpha_i^k$ и $\beta_i^k$. Выпишем их полный список: $$\begin{aligned} A_{00} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_0^k-\alpha_5^k\beta_5^k-\alpha_6^k\beta_6^k-\alpha_7^k\beta_7^k\\ &-\alpha_4^k\beta_4^k+\alpha_1^k\beta_1^k+\alpha_2^k\beta_2^k+\alpha_3^k\beta_3^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{01} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_1^k+\alpha_5^k\beta_4^k-\alpha_6^k\beta_3^k+\alpha_7^k\beta_2^k\\ &+\alpha_4^k\beta_5^k+\alpha_1^k\beta_0^k-\alpha_2^k\beta_7^k+\alpha_3^k\beta_6^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{02} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_2^k+\alpha_5^k\beta_3^k+\alpha_6^k\beta_4^k-\alpha_7^k\beta_1^k\\ &+\alpha_4^k\beta_6^k+\alpha_1^k\beta_7^k+\alpha_2^k\beta_0^k-\alpha_3^k\beta_5^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{03} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_3^k-\alpha_5^k\beta_2^k+\alpha_6^k\beta_1^k+\alpha_7^k\beta_4^k\\ &+\alpha_4^k\beta_7^k-\alpha_1^k\beta_6^k+\alpha_7^k\beta_5^k+\alpha_3^k\beta_0^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{04} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_4^k+\alpha_5^k\beta_1^k+\alpha_6^k\beta_1^k+\alpha_7^k\beta_3^k\\ &-\alpha_4^k\beta_0^k+\alpha_1^k\beta_5^k+\alpha_2^k\beta_6^k+\alpha_3^k\beta_7^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{05} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_5^k-\alpha_5^k\beta_0^k+\alpha_6^k\beta_7^k-\alpha_7^k\beta_6^k\\ &+\alpha_4^k\beta_1^k+\alpha_1^k\beta_4^k-\alpha_2^k\beta_3^k+\alpha_3^k\beta_2^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{06} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_6^k-\alpha_5^k\beta_7^k-\alpha_6^k\beta_0^k+\alpha_7^k\beta_5^k\\ &+\alpha_4^k\beta_2^k+\alpha_1^k\beta_3^k+\alpha_2^k\beta_4^k-\alpha_3^k\beta_1^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{07} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_7^k+\alpha_5^k\beta_6^k-\alpha_6^k\beta_5^k-\alpha_7^k\beta_0^k\\ &+\alpha_4^k\beta_3^k-\alpha_1^k\beta_2^k+\alpha_2^k\beta_1^k+\alpha_3^k\beta_4^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{10} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_1^k+\alpha_5^k\beta_4^k0\alpha_6^k\beta_3^k-\alpha_7^k\beta_2^k\\ &+\alpha_4^k\beta_5^k+\alpha_1^k\beta_0^k+\alpha_2^k\beta_7^k-\alpha_3^k\beta_6^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{11} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_0^k-\alpha_5^k\beta_5^k+\alpha_6^k\beta_6^k+\alpha_7^k\beta_7^k\\ &-\alpha_4^k\beta_4^k+\alpha_1^k\beta_1^k-\alpha_2^k\beta_2^k-\alpha_3^k\beta_3^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{12} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_7^k-\alpha_5^k\beta_6^k-\alpha_6^k\beta_5^k-\alpha_7^k\beta_0^k\\ &-\alpha_4^k\beta_3^k+\alpha_1^k\beta_2^k+\alpha_2^k\beta_1^k+\alpha_3^k\beta_4^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{13} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_6^k-\alpha_5^k\beta_7^k+\alpha_6^k\beta_0^k-\alpha_6^k\beta_5^k\\ &+\alpha_4^k\beta_2^k+\alpha_1^k\beta_3^k-\alpha_2^k\beta_4^k+\alpha_3^k\beta_1^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{14} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_5^k+\alpha_5^k\beta_0^k+\alpha_6^k\beta_7^k-\alpha_7^k\beta_6^k\\ &-\alpha_4^k\beta_1^k-\alpha_1^k\beta_4^k-\alpha_2^k\beta_3^k+\alpha_3^k\beta_2^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{15} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_4^k-\alpha_5^k\beta_1^k+\alpha_6^k\beta_2^k+\alpha_7^k\beta_3^k\\ &+\alpha_4^k\beta_0^k-\alpha_1^k\beta_5^k+\alpha_2^k\beta_6^k+\alpha_3^k\beta_7^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{16} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_3^k-\alpha_5^k\beta_2^k-\alpha_6^k\beta_1^k-\alpha_7^k\beta_4^k\\ &+\alpha_4^k\beta_6^k-\alpha_1^k\beta_6^k-\alpha_2^k\beta_5^k-\alpha_3^k\beta_0^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{17} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_2^k-\alpha_5^k\beta_3^k+\alpha_6^k\beta_4^k-\alpha_7^k\beta_1^k\\ &-\alpha_4^k\beta_6^k-\alpha_1^k\beta_7^k+\alpha_2^k\beta_0^k-\alpha_3^k\beta_5^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{20} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_2^k-\alpha_5^k\beta_3^k+\alpha_6^k\beta_4^k+\alpha_7^k\beta_1^k\\ &+\alpha_4^k\beta_6^k-\alpha_1^k\beta_7^k+\alpha_2^k\beta_0^k+\alpha_3^k\beta_5^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{21} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_7^k-\alpha_5^k\beta_6^k-\alpha_6^k\beta_5^k+\alpha_7^k\beta_0^k\\ &+\alpha_4^k\beta_3^k+\alpha_1^k\beta_2^k+\alpha_2^k\beta_1^k-\alpha_3^k\beta_4^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{22} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_0^k+\alpha_5^k\beta_5^k-\alpha_6^k\beta_6^k+\alpha_7^k\beta_7^k\\ &-\alpha_4^k\beta_4^k-\alpha_1^k\beta_1^k+\alpha_2^k\beta_2^k-\alpha_3^k\beta_3^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{23} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_5^k-\alpha_5^k\beta_0^k-\alpha_6^k\beta_7^k-\alpha_7^k\beta_6^k\\ &-\alpha_4^k\beta_1^k+\alpha_1^k\beta_4^k+\alpha_2^k\beta_3^k+\alpha_3^k\beta_2^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{24} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_6^k-\alpha_5^k\beta_7^k+\alpha_6^k\beta_0^k+\alpha_7^k\beta_5^k\\ &-\alpha_4^k\beta_2^k+\alpha_1^k\beta_3^k-\alpha_2^k\beta_4^k-\alpha_3^k\beta_1^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{25} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_3^k-\alpha_5^k\beta_2^k-\alpha_6^k\beta_1^k+\alpha_7^k\beta_4^k\\ &-\alpha_4^k\beta_7^k-\alpha_1^k\beta_6^k-\alpha_2^k\beta_5^k+\alpha_3^k\beta_0^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{26} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_4^k+\alpha_5^k\beta_1^k-\alpha_6^k\beta_2^k+\alpha_7^k\beta_3^k\\ &+\alpha_4^k\beta_0^k+\alpha_1^k\beta_5^k-\alpha_2^k\beta_6^k+\alpha_3^k\beta_7^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{27} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_1^k-\alpha_5^k\beta_4^k-\alpha_6^k\beta_3^k-\alpha_7^k\beta_2^k\\ &+\alpha_4^k\beta_5^k-\alpha_1^k\beta_0^k-\alpha_2^k\beta_7^k-\alpha_3^k\beta_6^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{30} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_3^k+\alpha_5^k\beta_2^k-\alpha_6^k\beta_1^k+\alpha_7^k\beta_4^k\\ &+\alpha_4^k\beta_7^k+\alpha_1^k\beta_6^k-\alpha_2^k\beta_5^k+\alpha_3^k\beta_0^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{31} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_6^k-\alpha_5^k\beta_7^k-\alpha_6^k\beta_0^k-\alpha_7^k\beta_5^k\\ &-\alpha_4^k\beta_2^k+\alpha_1^k\beta_3^k+\alpha_2^k\beta_4^k+\alpha_3^k\beta_1^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{32} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_5^k+\alpha_5^k\beta_0^k-\alpha_6^k\beta_7^k-\alpha_7^k\beta_6^k\\ &+\alpha_4^k\beta_1^k-\alpha_1^k\beta_4^k+\alpha_2^k\beta_3^k+\alpha_3^k\beta_2^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{33} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_0^k+\alpha_5^k\beta_5^k+\alpha_6^k\beta_6^k-\alpha_7^k\beta_7^k\\ &-\alpha_4^k\beta_4^k-\alpha_1^k\beta_1^k-\alpha_2^k\beta_2^k+\alpha_3^k\beta_3^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{34} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_7^k+\alpha_5^k\beta_6^k-\alpha_6^k\beta_5^k+\alpha_7^k\beta_0^k\\ &-\alpha_4^k\beta_3^k-\alpha_1^k\beta_2^k+\alpha_2^k\beta_1^k-\alpha_3^k\beta_4^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{35} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_2^k-\alpha_3^k\beta_4^k-\alpha_6^k\beta_4^k-\alpha_7^k\beta_1^k\\ &+\alpha_4^k\beta_6^k-\alpha_1^k\beta_7^k-\alpha_2^k\beta_0^k-\alpha_3^k\beta_5^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{36} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_1^k+\alpha_5^k\beta_4^k-\alpha_6^k\beta_3^k-\alpha_7^k\beta_2^k\\ &-\alpha_4^k\beta_5^k+\alpha_1^k\beta_0^k-\alpha_2^k\beta_7^k-\alpha_3^k\beta_6^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{37} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_4^k+\alpha_5^k\beta_1^k+\alpha_6^k\beta_2^k-\alpha_7^k\beta_3^k\\ &+\alpha_4^k\beta_0^k+\alpha_1^k\beta_5^k+\alpha_2^k\beta_6^k-\alpha_3^k\beta_7^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{40} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_4^k-\alpha_5^k\beta_1^k-\alpha_6^k\beta_2^k-\alpha_7^k\beta_3^k\\ &+\alpha_4^k\beta_0^k-\alpha_1^k\beta_5^k-\alpha_2^k\beta_6^k-\alpha_3^k\beta_7^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{41} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_5^k-\alpha_5^k\beta_0^k+\alpha_6^k\beta_7^k-\alpha_7^k\beta_6^k\\ &+\alpha_4^k\beta_1^k+\alpha_1^k\beta_4^k-\alpha_2^k\beta_3^k+\alpha_3^k\beta_2^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{42} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_6^k-\alpha_5^k\beta_7^k-\alpha_6^k\beta_0^k+\alpha_7^k\beta_5^k\\ &+\alpha_4^k\beta_2^k+\alpha_1^k\beta_3^k+\alpha_2^k\beta_4^k-\alpha_3^k\beta_1^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{43} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_7^k+\alpha_5^k\beta_6^k-\alpha_6^k\beta_5^k-\alpha_7^k\beta_0^k\\ &+\alpha_4^k\beta_3^k-\alpha_1^k\beta_2^k+\alpha_2^k\beta_1^k+\alpha_3^k\beta_4^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{44} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_0^k-\alpha_5^k\beta_5^k-\alpha_6^k\beta_6^k-\alpha_7^k\beta_7^k\\ &-\alpha_4^k\beta_4^k+\alpha_1^k\beta_1^k+\alpha_2^k\beta_2^k+\alpha_3^k\beta_3^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{45} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_1^k-\alpha_5^k\beta_4^k+\alpha_6^k\beta_3^k-\alpha_7^k\beta_2^k\\ &-\alpha_4^k\beta_5^k-\alpha_1^k\beta_0^k+\alpha_2^k\beta_7^k-\alpha_3^k\beta_6^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{46} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_2^k-\alpha_5^k\beta_3^k-\alpha_6^k\beta_4^k+\alpha_7^k\beta_1^k\\ &-\alpha_4^k\beta_6^k-\alpha_1^k\beta_7^k-\alpha_2^k\beta_0^k+\alpha_3^k\beta_5^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{47} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_3^k+\alpha_5^k\beta_2^k-\alpha_6^k\beta_1^k-\alpha_7^k\beta_4^k\\ &-\alpha_4^k\beta_7^k+\alpha_1^k\beta_6^k-\alpha_2^k\beta_5^k-\alpha_3^k\beta_0^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{50} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_5^k+\alpha_5^k\beta_0^k+\alpha_6^k\beta_7^k-\alpha_7^k\beta_6^k\\ &-\alpha_4^k\beta_1^k-\alpha_1^k\beta_4^k-\alpha_2^k\beta_3^k+\alpha_3^k\beta_2^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{51} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_4^k+\alpha_5^k\beta_1^k-\alpha_6^k\beta_2^k-\alpha_7^k\beta_3^k\\ &-\alpha_4^k\beta_0^k+\alpha_1^k\beta_5^k-\alpha_2^k\beta_6^k-\alpha_3^k\beta_7^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{52} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_3^k+\alpha_5^k\beta_2^k+\alpha_6^k\beta_1^k+\alpha_7^k\beta_4^k\\ &-\alpha_4^k\beta_7^k+\alpha_1^k\beta_6^k+\alpha_2^k\beta_5^k+\alpha_3^k\beta_0^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{53} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_2^k+\alpha_5^k\beta_3^k-\alpha_6^k\beta_4^k+\alpha_7^k\beta_1^k\\ &+\alpha_4^k\beta_6^k+\alpha_1^k\beta_7^k-\alpha_2^k\beta_0^k+\alpha_3^k\beta_5^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{54} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_1^k-\alpha_5^k\beta_4^k-\alpha_6^k\beta_3^k+\alpha_7^k\beta_2^k\\ &-\alpha_4^k\beta_5^k-\alpha_1^k\beta_0^k-\alpha_2^k\beta_7^k+\alpha_3^k\beta_6^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{55} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_0^k-\alpha_5^k\beta_5^k+\alpha_6^k\beta_6^k+\alpha_7^k\beta_7^k\\ &-\alpha_4^k\beta_4^k+\alpha_1^k\beta_1^k-\alpha_2^k\beta_2^k-\alpha_3^k\beta_3^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{56} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_7^k-\alpha_5^k\beta_6^k-\alpha_6^k\beta_5^k-\alpha_7^k\beta_0^k\\ &-\alpha_4^k\beta_3^k+\alpha_1^k\beta_2^k+\alpha_2^k\beta_1^k+\alpha_3^k\beta_4^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{57} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_6^k-\alpha_5^k\beta_7^k+\alpha_6^k\beta_0^k-\alpha_7^k\beta_5^k\\ &+\alpha_4^k\beta_2^k+\alpha_1^k\beta_3^k-\alpha_2^k\beta_4^k+\alpha_3^k\beta_1^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{60} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_6^k-\alpha_5^k\beta_7^k+\alpha_6^k\beta_0^k+\alpha_7^k\beta_5^k\\ &-\alpha_4^k\beta_2^k+\alpha_1^k\beta_3^k-\alpha_2^k\beta_4^k-\alpha_3^k\beta_1^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{61} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_3^k+\alpha_5^k\beta_2^k+\alpha_6^k\beta_1^k-\alpha_7^k\beta_4^k\\ &+\alpha_4^k\beta_7^k+\alpha_1^k\beta_6^k+\alpha_2^k\beta_5^k-\alpha_3^k\beta_0^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{62} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_4^k-\alpha_5^k\beta_1^k+\alpha_6^k\beta_2^k-\alpha_7^k\beta_3^k\\ &-\alpha_4^k\beta_0^k-\alpha_1^k\beta_5^k+\alpha_2^k\beta_6^k-\alpha_3^k\beta_7^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{63} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_1^k+\alpha_5^k\beta_4^k+\alpha_6^k\beta_3^k+\alpha_7^k\beta_2^k\\ &-\alpha_4^k\beta_5^k+\alpha_1^k\beta_0^k+\alpha_2^k\beta_7^k+\alpha_3^k\beta_6^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{64} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_2^k+\alpha_5^k\beta_3^k-\alpha_6^k\beta_4^k-\alpha_7^k\beta_1^k\\ &-\alpha_4^k\beta_6^k+\alpha_1^k\beta_7^k-\alpha_2^k\beta_0^k-\alpha_3^k\beta_5^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{65} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_7^k-\alpha_5^k\beta_6^k-\alpha_6^k\beta_5^k+\alpha_7^k\beta_0^k\\ &+\alpha_4^k\beta_3^k+\alpha_1^k\beta_2^k+\alpha_2^k\beta_1^k-\alpha_3^k\beta_4^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{66} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_0^k+\alpha_5^k\beta_5^k-\alpha_6^k\beta_6^k+\alpha_7^k\beta_7^k\\ &-\alpha_4^k\beta_4^k-\alpha_1^k\beta_1^k+\alpha_2^k\beta_2^k-\alpha_3^k\beta_3^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{67} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_5^k-\alpha_5^k\beta_0^k-\alpha_6^k\beta_7^k-\alpha_7^k\beta_6^k\\ &-\alpha_4^k\beta_1^k+\alpha_1^k\beta_4^k+\alpha_2^k\beta_3^k+\alpha_3^k\beta_2^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{70} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_7^k+\alpha_5^k\beta_6^k-\alpha_6^k\beta_5^k+\alpha_7^k\beta_0^k\\ &-\alpha_4^k\beta_3^k-\alpha_1^k\beta_2^k+\alpha_2^k\beta_1^k-\alpha_3^k\beta_4^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{71} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_2^k+\alpha_5^k\beta_3^k+\alpha_6^k\beta_4^k+\alpha_7^k\beta_1^k\\ &-\alpha_4^k\beta_6^k+\alpha_1^k\beta_7^k+\alpha_2^k\beta_0^k+\alpha_3^k\beta_5^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{72} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_1^k-\alpha_5^k\beta_4^k+\alpha_6^k\beta_3^k+\alpha_7^k\beta_2^k\\ &+\alpha_4^k\beta_5^k-\alpha_1^k\beta_0^k+\alpha_2^k\beta_7^k+\alpha_3^k\beta_6^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{73} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_4^k-\alpha_5^k\beta_1^k-\alpha_6^k\beta_2^k+\alpha_7^k\beta_3^k\\ &-\alpha_4^k\beta_0^k-\alpha_1^k\beta_5^k-\alpha_2^k\beta_6^k+\alpha_3^k\beta_7^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{74} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_3^k-\alpha_5^k\beta_2^k+\alpha_6^k\beta_1^k-\alpha_7^k\beta_4^k\\ &-\alpha_4^k\beta_7^k-\alpha_1^k\beta_6^k+\alpha_2^k\beta_5^k-\alpha_3^k\beta_0^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{75} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_6^k-\alpha_5^k\beta_7^k-\alpha_6^k\beta_0^k-\alpha_7^k\beta_5^k\\ &-\alpha_4^k\beta_2^k+\alpha_1^k\beta_3^k+\alpha_2^k\beta_4^k+\alpha_3^k\beta_1^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{76} = \sum\limits_{k}\bigr(&-\alpha_0^k\beta_5^k+\alpha_5^k\beta_0^k-\alpha_6^k\beta_7^k-\alpha_7^k\beta_6^k\\ &+\alpha_4^k\beta_1^k-\alpha_1^k\beta_4^k+\alpha_2^k\beta_3^k+\alpha_3^k\beta_2^k\bigr) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} A_{77} = \sum\limits_{k}\bigr(&+\alpha_0^k\beta_0^k+\alpha_5^k\beta_5^k+\alpha_6^k\beta_6^k-\alpha_7^k\beta_7^k\\ &-\alpha_4^k\beta_4^k-\alpha_1^k\beta_1^k-\alpha_2^k\beta_2^k+\alpha_3^k\beta_3^k\bigr) \end{aligned}$$ Попутно отмечу, что для формирования этих формул был вынужден использовать специальную программу, формирующую текст в формате TeX. Её вывод и был включен в статью.

Теперь мы можем поступить также, как в случае комплексных чисел при выводе уравнений Коши-Римана. А именно, имея выражения для частных производных $\partial f_i/\partial p_j$ в виде функций коэффициентов $\alpha_j$ и $\beta_i$, можем сопоставить их значения. Получается список следующих уравнений: $$\frac{\partial{f_0}}{\partial{p_0}} = \frac{\partial{f_4}}{\partial{p_4}}$$ $$\frac{\partial{f_0}}{\partial{p_1}} = -\frac{\partial{f_4}}{\partial{p_5}}$$ $$\frac{\partial{f_0}}{\partial{p_2}} = -\frac{\partial{f_4}}{\partial{p_6}}$$ $$\frac{\partial{f_0}}{\partial{p_3}} = -\frac{\partial{f_4}}{\partial{p_7}}$$ $$\frac{\partial{f_0}}{\partial{p_4}} = -\frac{\partial{f_4}}{\partial{p_0}}$$ $$\frac{\partial{f_0}}{\partial{p_5}} = \frac{\partial{f_4}}{\partial{p_1}}$$ $$\frac{\partial{f_0}}{\partial{p_7}} = \frac{\partial{f_4}}{\partial{p_3}}$$ $$\frac{\partial{f_0}}{\partial{p_6}} = \frac{\partial{f_4}}{\partial{p_2}}$$ $$\frac{\partial{f_5}}{\partial{p_0}} = \frac{\partial{f_1}}{\partial{p_4}}$$ $$\frac{\partial{f_5}}{\partial{p_1}} = -\frac{\partial{f_1}}{\partial{p_5}}$$ $$\frac{\partial{f_5}}{\partial{p_2}} = -\frac{\partial{f_1}}{\partial{p_6}}$$ $$\frac{\partial{f_5}}{\partial{p_3}} = -\frac{\partial{f_1}}{\partial{p_7}}$$ $$\frac{\partial{f_5}}{\partial{p_4}} = -\frac{\partial{f_1}}{\partial{p_0}}$$ $$\frac{\partial{f_5}}{\partial{p_5}} = \frac{\partial{f_1}}{\partial{p_1}}$$ $$\frac{\partial{f_5}}{\partial{p_6}} = \frac{\partial{f_1}}{\partial{p_2}}$$ $$\frac{\partial{f_5}}{\partial{p_7}} = \frac{\partial{f_1}}{\partial{p_3}}$$ $$\frac{\partial{f_6}}{\partial{p_0}} = \frac{\partial{f_2}}{\partial{p_4}}$$ $$\frac{\partial{f_6}}{\partial{p_1}} = -\frac{\partial{f_2}}{\partial{p_5}}$$ $$\frac{\partial{f_6}}{\partial{p_2}} = -\frac{\partial{f_2}}{\partial{p_6}}$$ $$\frac{\partial{f_6}}{\partial{p_3}} = -\frac{\partial{f_2}}{\partial{p_7}}$$ $$\frac{\partial{f_6}}{\partial{p_4}} = -\frac{\partial{f_2}}{\partial{p_0}}$$ $$\frac{\partial{f_6}}{\partial{p_5}} = \frac{\partial{f_2}}{\partial{p_1}}$$ $$\frac{\partial{f_6}}{\partial{p_6}} = \frac{\partial{f_2}}{\partial{p_2}}$$ $$\frac{\partial{f_6}}{\partial{p_7}} = \frac{\partial{f_2}}{\partial{p_3}}$$ $$\frac{\partial{f_7}}{\partial{p_0}} = \frac{\partial{f_3}}{\partial{p_4}}$$ $$\frac{\partial{f_7}}{\partial{p_1}} = -\frac{\partial{f_3}}{\partial{p_5}}$$ $$\frac{\partial{f_7}}{\partial{p_2}} = -\frac{\partial{f_3}}{\partial{p_6}}$$ $$\frac{\partial{f_7}}{\partial{p_3}} = -\frac{\partial{f_3}}{\partial{p_7}}$$ $$\frac{\partial{f_7}}{\partial{p_4}} = -\frac{\partial{f_3}}{\partial{p_0}}$$ $$\frac{\partial{f_7}}{\partial{p_5}} = \frac{\partial{f_3}}{\partial{p_1}}$$ $$\frac{\partial{f_7}}{\partial{p_6}} = \frac{\partial{f_3}}{\partial{p_2}}$$ $$\frac{\partial{f_7}}{\partial{p_7}} = \frac{\partial{f_3}}{\partial{p_3}}$$ Как это ни покажется неожиданным, но для функции бикватернионного переменного действительно существуют уравнения вида уравнений Коши-Римана, связывающие различные частные производные $\partial f_i/\partial p_j$. В отличие от функций коммутативного переменного связаны производные не каждая с каждой, а только некоторые.

Рассмотрев уравнения равенств частных производных, можно сделать вывод, что они включают как частный случай уравнения Коши-Римана, но не включают соответствующие уравнения для бикомплексного переменного. Это вызвано тем, что в бикомплексных числах одно из мнимых единиц в бикватернионах уже является некоммутативной.

Возвращаясь к вопросу об аналитичности функции бикватернионного переменного, можно сделать вывод, что если функция от бикватерниона определена с использованием операций сложения и умножения, в том числе умножения на бикватернион, то её частные производные должны удовлетворять вышеприведённым условиям равенства. Можно ли сделать обратный вывод, а именно, если частные производные функции удовлетворяют вышеприведённым условиям, то эта функция является аналитической функцией бикватерниона и может быть представлена в виде суммы произведений аргумента и других бикватернионов, я пока затрудняюсь. В отличие от функций комплексного переменного, здесь я пока не могу дать однозначного ответа.

В заключение статьи отмечу, что намеренно не делаю исследования существования уравнений типа уравнений потенциала, поскольку эта тема не входит в определенную тематику статьи и может быть темой отдельной работы.

Список ссылок по теме.
1) В.В. Кассандров. Алгебродинамика: кватернионы, твисторы, частицы
// Вестник РУДН. Физика. Т. 8. 2000. Сс.36-46
http://www.chronos.msu.ru/RREPORTS/kassandrov\_algebrodinamika.gz.ps
2) В.В. Кассандров. Алгебраическая динамика и физическая картина Мира
http://www.chronos.msu.ru/RREPORTS/kassandrov\_chislo/kassandrov\_chislo.htm
3) Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980.