среда, 7 декабря 2016 г.

Скалярно-пространственные повороты в кватернионах

Эта статья посвящена преобразованию кватернионов, которое мне ранее не встречалось нигде и, на мой взгляд, заслуживает быть описанным и опубликованным.

Занимаясь преобразованиями кватернионов и изучением их свойств, я столкнулся с весьма интересным обстоятельством. При упоминании преобразования кватернионов непременно встречается упоминание преобразования вращения в 3-х мерном пространстве. Либо преобразование вообще, то есть в наиболее общем виде. Напомним, что преобразование 3-х мерного вращения описывается как $$ x'=a\cdot x \cdot \overline{a} $$ а общее преобразование как $$ x'=a\cdot x \cdot b $$ Отмечу, что это общее преобразование, на самом деле, не является общим линейным. Дело в том, что кватернион имеет 4 компоненты, и общее линейное преобразование должно содержать $4^2=16$ независимо задаваемых параметра. В то время как приведенное преобразование содержит только $4+4=8$ независимо задаваемых параметра.

Возникшее чувство неудовлетворенности заставило пристальнее рассмотреть преобразование кватернионов и как один из результатов такого рассмотрения и появилась эта статья.

Приведенное выше преобразование 3-х мерного вращения оказалось очень важным с точки зрения его практического применения. Вторым часто используемым преобразованием вращения является вращение в плоскости, описываемое умножением комплексных чисел. Итак,

$x'=a\cdot x \cdot\overline{a}$ для вращения кватернионов
$z=a\cdot z$ для вращения комплексных чисел

Эти вращения отличаются тем, что во втором случае вращение объекта производится, в отличие от первого, в плоскости, проходящей через скалярную ось.

Мне представилась интересной мысль найти такое вращение в кватернионах, чтобы вращение производилось не вокруг оси, а в указанной плоскости, причем эта плоскость должна проходить через скалярную ось координат и через произвольно заданный вектор. Причем таким образом, чтобы эти два направления являлись образующими прямыми для этой плоскости.

Само же вращение, несмотря на некоторую его необычность, по моим представлениям, должно обладать следующими признаками:
  1. модуль преобразуемого кватерниона не должен меняться.
  2. векторная часть, лежащая в плоскости вращения, должна получить приращение аргумента, как если бы это было вращение в комплексной плоскости.
  3. векторная часть, ортогональная вектору, образующему плоскость вращения, не должна меняться.
Как оказалось, этому вращению соответствует преобразование $$ x'=e^{\varphi}\cdot x\cdot e^{\varphi} $$ При этом величина угла поворота равна $2\left|\varphi\right|$.

Покажем, что это преобразование полностью удовлетворяет поставленным условиям.

1. Модуль преобразуемого кватерниона не должен меняться.

Раскроем модуль: $$ \left|x'\right|=\left|e^{\varphi}\right|^2\cdot\left|x\right| $$ Таким образом, достаточно потребовать выполнения условия $\left|e^{\varphi}\right|=1$, или $\mathrm{Re}(\varphi)=0$. Очевидно, что такое преобразование существует.

2. Векторная часть, лежащая в плоскости вращения, должна получить приращение аргумента, как если бы это было вращение в комплексной плоскости.

Раскроем экспоненциальное представление для случая $\mathrm{Re}(\varphi)=0$: $$ e^{\varphi}=\cos\left|\varphi\right|+\sin\left|\varphi\right|\frac{\varphi}{\left|\varphi\right|} $$ В том случае, если кватернион $x$ содержит в своей векторной части только часть, коллинеарную $\varphi$, получаем: $$ x=x_0+\alpha\cdot\vec{\varphi} $$ $$ x'=\left(\cos\left|\varphi\right|+\sin\left|\varphi\right|\frac{\vec{\varphi}}{\left|\varphi\right|}\right) \left(x_0+\alpha\cdot\vec{\varphi}\right) \left(\cos\left|\varphi\right|+\sin\left|\varphi\right|\frac{\vec{\varphi}}{\left|\varphi\right|}\right) $$ Применив условное преобразование поворота $\beta$ ко всем используемым векторам таким образом, что $$ e^{\beta}\vec{\varphi}e^{-\beta}=i $$ получим $$ \begin{array}{c} x'=e^{-\beta}\left(\mathrm{cos}\left|\varphi\right|+\mathrm{sin}\left|\varphi\right|i\right) \left(x_0+\alpha i\right) \left(\mathrm{cos}\left|\varphi\right|+\mathrm{sin}\left|\varphi\right|i\right)e^{\beta}=\\ =e^{-\beta}(x_0+\alpha i) \left(\mathrm{cos}2\left|\varphi\right|+\mathrm{sin}2\left|\varphi\right|i\right)e^{\beta} \end{array} $$ Таким образом, с точностью до совмещения вектора $\vec{\varphi}$ и оси $i$, вектор лежащий в плоскости вращения, преобразуется как если бы это было вращением в комплексной плоскости, проходящей через скалярную ось.

3. Векторная часть, ортогональная вектору, образующему плоскость вращения, не изменяется.
Раскроем выражение преобразования для случая $x=\vec{x}$ и $\vec{x}\bot\vec{\varphi}$: $$ \begin{array}{c} x'=e^{\varphi}\vec{x}e^{\varphi}=(\alpha+\beta\vec{\varphi})\vec{x} (\alpha+\beta\vec{\varphi})=\\ \alpha\vec{x}\alpha+\alpha\vec{x}\beta\vec{\varphi}+\beta\vec{\varphi}\vec{x}\alpha+ \beta\vec{\varphi}\vec{x}\alpha+\beta\vec{\varphi}\vec{x}\beta\vec{\varphi} \end{array} $$ Алгебра кватернионов относится к алгебрам Клиффорда и для нее выполняется соотношение: $$ a\cdot b=(a,b)+[a,b] $$ Таким образом, $$ \alpha\vec{x}\beta\vec{\varphi}+\beta\vec{\varphi}\vec{x}\alpha= \alpha\beta\left(2(\vec{x},\vec{\varphi})+[\vec{x},\vec{\varphi}]+ [\vec{\varphi},\vec{x}]\right) $$ Что равно нулю в силу ортогональности $\vec{x}$ и $\vec{\varphi}$ и свойства векторного произведения $$ [a,b]=-[b,a] $$ Покажем, что $$ \vec{\varphi}\vec{x}\vec{\varphi}=\vec{x}\left|\vec{\varphi}\right|^2 $$ Построим такое вращение, что в результате его применения к обоим векторам вектор $\vec{\varphi}$ перейдет в вектор $i$: $$ \begin{array}{c} \varphi=e^{\psi_1}ie^{-\psi_1} \\ \vec{\varphi}\vec{x}\vec{\varphi}=\vec{x}\rightarrow e^{\psi_1}ie^{-\psi_1} e^{\psi_1}\vec{x'}e^{-\psi_1}e^{\psi_1}ie^{-\psi_1}= e^{\psi_1}\vec{x'}e^{-\psi_1} \end{array} $$ В силу того, что трехмерное вращение не изменяет взаимных углов $\vec{\varphi}$ и $\vec{x}$ (угла между ними), то после того, как вектор $\varphi$ перейдет в вектор $i$, вектор $\vec{x}$ перейдет в вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной к вектору $i$. Совершим второй поворот вокруг оси $i$ таким образом, чтобы вектор $\vec{x'}$ совместился с осью $j$, то есть повернем его вокруг оси $i$. Исходное равенство трансформируется в: $$ e^{\psi_1}e^{\psi_2}ijie^{-\psi_2}e^{-\psi_1}= e^{\psi_1}e^{\psi_2}je^{-\psi_2}e^{-\psi_1} $$ Используя правило произведения гиперкомплексных единиц для кватернионов, получим: $$ (ij)i=i(ji)=ki=i(-k)=j $$ Таким образом, рассматривавшееся равенство является тождеством.

Вернемся к первоначальному утверждению: $$ \begin{array}{c} x'=e^{\vec{\varphi}}\vec{x}e^{\vec{\varphi}}= \\ =\left(\mathrm{cos}\left|\varphi\right|+\mathrm{sin}\left|\varphi\right| \frac{\vec{\varphi}}{\left|\vec{\varphi}\right|}\right) \vec{x} \left(\mathrm{cos}\left|\varphi\right|+\mathrm{sin}\left|\varphi\right| \frac{\vec{\varphi}}{\left|\vec{\varphi}\right|}\right)=\\ =\left(\mathrm{cos}^2\left|\varphi\right|+\mathrm{sin}^2\left|\varphi\right|\right)\vec{x}=\vec{x} \end{array} $$ Таким образом, векторная часть, ортогональная вектору, образующему плоскость вращения, не изменяется.

Произвольно взятый кватернион $x$ содержит скалярную часть $x_0$ и векторную часть. Его векторная часть может быть однозначно разложена на две части, одна из которых сонаправлена плоскости скалярно-векторного вращения, а вторая ей перпендикулярна: $$ x=x_0+\alpha\varphi+\beta x' $$ где $x'\bot \varphi$

Таким образом, в силу линейности преобразования $$ e^{\varphi}(a+b)e^{\varphi}=e^{\varphi}ae^{\varphi}+e^{\varphi}be^{\varphi} $$ Приведенные и доказанные выше свойства могут быть отнесены к произвольно взятому кватерниону $x$, что и следовало доказать.

Тот факт, что искомое преобразование сыскалось и обладает всеми требуемыми свойствами, вселяет оптимизм и дает возможность построить выражение (или правило образования) скалярного произведения в произвольной гиперкомплексной алгебре. Само построение скалярного произведения в произвольной гиперкомплексной системе будет дано в другой работе, поскольку выходит за рамки этой статьи.

Одновременно с оптимизмом при рассмотрении свойств полученного преобразования обнаруживается некоторое досадное его свойство: скалярно-векторные повороты не образуют группу по композиции, поскольку использованная форма преобразования не дает возможности операторам преобразования образовать группу по умножению: $$ x'=e^{\alpha}e^{\beta}xe^{\beta}e^{\alpha}\neq e^{\gamma}xe^{\gamma} $$ Исключение составляет случай коллинеарности векторов $\vec{\alpha}$ и $\vec{\beta}$. Что физически соответствует тому, что вращения в одной плоскости образуют группу по композиции.

Отчасти скалярно-векторные вращения в форме $$ x'=e^{\varphi}xe^{\varphi} $$ были использованы мной ранее в работе, посвященной группе преобразований Лоренца. В ней скалярно-векторным вращениям соответствовали операторы, для которых $$ \tilde{\varphi'}=\varphi $$ В этой же статье никакого иного сопряжения, кроме алгебраического, не использовалось, поэтому такой факт совпадения дает направление исследований сопряжений гиперкомплексных алгебр как операций гораздо более плодотворных, чем это принято считать сейчас.

Комментариев нет:

Отправить комментарий