Ранее было рассмотрено ускорение, а именно динамическое, как 4-градиент импульса:
Ускорение и силаВ этих постах величина, описывающая ускорение, конструируется как 4-градиент величины, описывающей скорость. Зададимся вопросом, можно ли понизить произзводные по времени так, чтобы величина описывающая скорость конструировалась как 4-градиент величины, описывающей 4-вектор положения в пространстве-времени? Попробуем разобраться.
Динамическое ускорение
От параметрического к динамическому
Начнем с того, что применим 4-градиент, тот же самый что и в построении динамического ускорения, к радиус-вектору: $$ X=ct+Iix+Ijy+Ikz $$ $$ \partial = \frac{\partial}{c\partial t}+ Ii\frac{\partial}{\partial x}+ Ij\frac{\partial}{\partial y}+ Ik\frac{\partial}{\partial z} $$ Обе величины сокращенные бикватернионы и представляют 4-векторы. При преобразованиях Лоренца $$ X\rightarrow\varkappa X\overline{\varkappa}^* $$ выбранный 4-градиент преобразуется как $$ \partial\rightarrow\varkappa^*\partial\overline{\varkappa} $$ И общая конструкция преобразуется соответственно: $$ \partial X \rightarrow \varkappa^*\partial\overline{\varkappa} \varkappa X\overline{\varkappa}^* $$ Поскольку $$ \overline{\varkappa}\varkappa=1 $$ то выражение $\partial X$ преобразуется как бивектор, но комплексно сопряженный: $$ \partial X \rightarrow \varkappa^*\partial X\overline{\varkappa}^* $$ Непосредственной проверкой вычислим это значение: $$ \partial X = 4 $$ Поскольку это есть сумма единиц $$ \frac{\partial}{c\partial t}ct+ Ii\frac{\partial}{\partial x}Iix+ Ij\frac{\partial}{\partial y}Ijy+ Ik\frac{\partial}{\partial z}Ikz $$ Произведения соответствующих единиц при компонентах: $$ IiIi=IjIj=IkIk=1 $$ Остальные составляющие равны нулю независимо от мнимых единиц, в силу свойств частных производных.
В некотором смысле полученная четверка оказалась следствием количества измерений, и для всех участвовавших в сумму вошла именно положительная единица. Вообще говоря, величина $$ \partial X $$ не есть размерность пространства, поскольку при переходе к другим пространствам в сумму будут входить квадраты других единиц, и они могут оказаться отрицательными или нулевыми.
Поскольку эта величина преобразуется как бивектор, композиционным преобразованием, и является одновременно скаляром, для произвольного преобразования Лоренца она будет Лоренц-инвариантом: $$ \varkappa^*4\overline{\varkappa}^*=4 $$ Далее положим, что рассмтриваем в той же СО радиус-вектор, преобразованный преобразованием Лоренца, и что в него входит и быстрота и угол поворота: $$ \varkappa=e^{\psi/2+\varphi/2} $$ где $\psi$ - полярная и $\varphi$ - аксиальная составляющие параметров преобразования. Рассмотрим чему равна величина $$ \partial\varkappa X\overline{\varkappa}^* $$ Хотя сами величины $\varkappa$ м $\overline{\varkappa}^*$ устроены довольно сложно, для оператора градиента в данном случае интерес представляет лишь величина $X$, поскольку мы считаем $\psi$ и $\varphi$ не зависящими явно от $X$. Поэтому рассмотрим отдельно левую часть в виде: $$ \partial\varkappa X $$ В силу свойств частных производных большая часть компонентов этого выражения равны нулю, например такие как $$ Ii \frac{\partial}{\partial x}\varkappa Ijy $$ $$ Ik \frac{\partial}{\partial z}\varkappa Iix $$ Или в общем виде $$ \frac{\partial}{\partial q_i}\varkappa q_j $$ при $i\neq j$. Такие выражения сокращаются до нуля независимо от свойств мнимых единиц и строения $\varkappa$. После сокращения производных остаются суммы из четырех составляющих: $$ \begin{array}{c} \varkappa \\ Ii \varkappa Ii \\ Ij \varkappa Ij \\ Ik \varkappa Ik \end{array} $$ Похожая формула известна для кватернионов: $$ \overline{q}=-1/2(q_0+iqi+jqj+kqk) $$ Обозначив $\varkappa$ как кватернион $$ \varkappa = \varkappa_0+i\varkappa_1+j\varkappa_2+k\varkappa_3 $$ но только с комплексными коэффициентами, найдем аналогичную формулу для бикватернионов: $$ \begin{array}{c} 1\varkappa 1=\varkappa_0+i\varkappa_1+j\varkappa_2+k\varkappa_3\\ Ii\varkappa Ii=\varkappa_0+i\varkappa_1-j\varkappa_2-k\varkappa_3\\ Ij\varkappa Ij=\varkappa_0-i\varkappa_1+j\varkappa_2-k\varkappa_3\\ Ik\varkappa Ik=\varkappa_0-i\varkappa_1-j\varkappa_2+k\varkappa_3 \end{array} $$ Нетрудно сложить их вместе: $$ \partial \varkappa X=4\varkappa_0=4 \mathrm{Scl}(\varkappa) $$ Итого, 4-градиент преобразованного радиус-вектора выражается как: $$ \partial \varkappa X=4 \mathrm{Scl}(\varkappa)\overline{\varkappa}^* $$ Поскольку сама величина $\varkappa$ преобразуется композиционно, её скалярная составляющая (это комплексная величина с мнимой единицей $I$) есть Лоренц-инвариант и в целом 4-градиент преобразованного радиус-вектора также преобразуется композиционно.
В случае если $\psi=0$ и $\varphi=0$ эта формула просто переходит в найденную ранее $$ \begin{array}{c} \varkappa=e^0=1 \\ \partial\varkappa X\overline{\varkappa}^*=4 \end{array} $$ Можно оценить при малых величинах $\psi$ и $\varphi$ чему в этом случае равен градиент такого движущегося радиус-вектора: $$ \begin{array}{c} \mathrm{Scl}(\varkappa)\approx 1 \\ \overline{\varkappa}^*\approx 1+\psi/2-\varphi/2 \end{array} $$ Минус во втором выражении получается из-за свойств векторного и скалярного сопряжений, а здесь они применяются оба.
И если полученное ранее динамическое ускорение получается из его параметров как $$ \partial V_{\tau}=2(\eta-\omega) $$ то аналогичная скорость получается как $$ \partial\varkappa X\overline{\varkappa}^*\approx 4+2(\psi-\varphi) $$ Здесь четверка описывает начальное состояние неподвижности относительно СО и $\psi$ и $\varphi$ есть параметры преобразования, если считать их относительно малыми. Малыми настолько, что можно пренебречь квадратами от них относительно их первых степеней. И, конечно, получаемая скорость есть величина безразмерная, как параметры $\psi$ и $\varphi$.
В целом, как ни странна на первый взгляд формулировка темы вынесенная в заголовок, мы действительно получили величину, описывающую скорость и угол поворота как величину парную к динамическому ускорению.
Ускорение и сила, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий