Из трехмерного в четырехмерный

Иной раз в рассуждениях о многомерности можно встретить выражения вида "добавить размерность" или "перейдем к n+1 размерности". Глядя на квадратичные формы инвариантов и скалярных произведений, вводимых "по определению", можно подумать что перейти к пространству другой размерности действительно просто, может быть даже "по определению" просто, и думать ни о чем не требуется. Так ли это, попробуем разобраться. А именно, действительно ли соотношения между осями 4-мерного пространства те же что и в 3-мерном.

В многомерных пространствах (речь идет о мерности больше 3) перпендикуляров к плоскости не один, а несколько, если за перпендикуляр принимать направление, ортогональное к любому вектору плоскости. Если за перпендикуляр принимать результат векторного произведения двух неколлинеарных векторов принадлежащих плоскости, то он может быть лишь один, но вот векторные произвдения могут быть определены либо в 3-мерном, либо в 7-мерном пространстве, но никак не в произвольно выбранной мерности, причем в 7-мерном пространстве будет потеряна ассоциативность, и как следствие, понятие группы преобразований.

Если взять трехмерное пространство XYZ, то к плоскости XY перпендикуляр один, это Z. Но в четырехмерном пространстве XYZW к плоскости XY уже два перпендикуляра, это Z и W.

И если в 3-мерном пространстве мы можем просто выбрать вектор угла поворота в качестве параметра оператора, то в 4-мерном пространстве мы этого сделать уже не можем. Нам лишь остается воспользоваться тем, что было придумано математиками для построения не столько поворота, сколько аналога 3-мерного поворота. А именно, перейти от модели поворота вокруг оси к модели поворота в плоскости. В 3-мерном пространстве они совпадают, но в более мерных - нет.

Если вектор точки в 4-х мерном пространстве представить в виде вектора $$ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array} \right) $$ то операторы поворотов будут действовать в шести плоскостях, а именно: $$ \begin{array}{c} XY \\ XZ \\ YZ \\ XW \\ YW \\ ZW \end{array} $$ Матрицы операторов поворотов на соответствующие углы имеют вид: $$ M_{XY}=\left( \begin{array}{cccc} \cos\varphi_{xy} & -\sin\varphi_{xy} & 0 & 0 \\ \sin\varphi_{xy} & \cos\varphi_{xy} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ M_{XZ}=\left( \begin{array}{cccc} \cos\varphi_{xz} & 0 & \sin\varphi_{xz} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\varphi_{xz} & 0 & \cos\varphi_{xz} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ M_{YZ}=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi_{yz} & -\sin\varphi_{yz} & 0 \\ 0 & \sin\varphi_{yz} & \cos\varphi_{yz} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ M_{XW}=\left( \begin{array}{cccc} \cos\varphi_{xw} & 0 & 0 & -\sin\varphi_{xw} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \sin\varphi_{xw} & 0 & 0 & \cos\varphi_{xw} \end{array} \right) $$ $$ N_{YW}=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi_{yw} & 0 & \sin\varphi_{yw} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -\sin\varphi_{yw} & 0 & \cos\varphi_{yw} \end{array} \right) $$ $$ M_{ZW} = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos\varphi_{zw} & -\sin\varphi_{zw} \\ 0 & 0 & \sin\varphi_{zw} & \cos\varphi_{zw} \end{array} \right) $$ Первые три матрицв выглядят привычно для 3-мерного пространства, с тем отличием что не меняют компоненту W. Вторая тройка матриц добавляется из-за добавления координаты W.

Кроме описанного ранее факта отсутствия 4-мерного ветора угла поворота, вытекающего из особенностей векторного произведения, вышеперечисленные операторы поворотов явным образом указывают на изменение правил коммутативности. А именно, если операторы $M_{XY}$, $M_{XZ}$ и $M_{YZ}$ каждый с каждым некоммутативны по композиции, то с добавленными операторами это правило уже неверно. Приведенная формулировка не совсем точна, и вообще говоря могут существовать специально подобранные контрпримеры, но в данном случае она упрощена для множества именно рассматриваемых операторов.

Если есть матрица, у которой строки и столбцы не имеют ненулевых элементов вне диагонали на пересечениях, то они коммутируют по умножению. Например, операторы $M_{XY}$ и $M_{XZ}$ имеют ненулевые общие первую строку и первый столбец. Поэтому при умножении они не коммутируют. Но вот операторы $M_{XY}$ и $M_{ZW}$ не имеют общих ненулевых строк и столбцов, по этой причине они коммутируют.

Несложно выписать пары коммутирующих по умножению операторов поворотов в 4-мерном пространстве: $$ \begin{array}{c} \left( \begin{array}{cc} M_{XY} & M_{ZW} \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} M_{YZ} & M_{XW} \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} M_{XZ} & M_{YW} \end{array} \right) \\ \end{array} $$ В нашем 3-мерном пространстве такого обстоятельства не получится ни представить, ни смоделировать. Сами по себе плоскости, например, из первой пары $XY$ и $ZW$. друг другу ортогональны. Поскольку подпространства считаются друг другу ортогональными другому подпространству если любой вектор из первого подпространства ортогонален любому вектору из второго. Для выбранной пары доказательство тривиально, поскольку и вектор $X$ ортогонален и $Z$ и $W$ и вектор $Y$ ортогонален и вектору $Z$ и $W$.

Но, одновременно с тем, операторы поворотов $M_{XY}$ и $M_{ZW}$ коммутируют друг с другом, как если бы у них были сонаправленные нормали или сами плоскости были параллельны а не ортогональны.

Таким образом, добавление еще одной размерности это совсем нетривиальный шаг, а шаг добавляющий новые качества.

Если есть два подпространства, образованные векторами так, что любой вектор из первого подпространства ортогонален любому вектору из второго, то такие подпространства могут быть названы ортогональными друг другу. Соответственно, любой поворот в одном из таких подпространств не меняет векторов во втором. И, следовательно операторы поворотов в ортогональных подпространствах коммутируют друг с другом.