Внутренняя энергия движущейся системы

Продолжим начатое ранее исследование

Происхождение внутренней энергии

https://thedarkaugust.blogspot.com/2026/08/blog-post.html

и рассмотрим вариант, когда входящие в систему тела движутся относительно наблюдателя совместно как целое. Но сохраняя при этом то же самое движение относительно друг друга.

Если первоначально два тела до объединения в систему двигались относительно наблюдателя с импульсами $$ \begin{array}{c} mce^{\psi_1} \\ mce^{\psi_2} \end{array} $$ то во втором варианте они совместно движутся отонсительно наблюдателя с быстротой $\psi'$ и имеют импульсы $$ \begin{array}{c} mce^{\psi_1+\psi'} \\ mce^{\psi_2+\psi'} \end{array} $$ Соответственно, во втором случае суммарный импульс станет равен $$ \begin{array}{c} mc\mathrm{ch}(\psi_1+\psi')+Iimc\mathrm{sh}(\psi_1+\psi')+ \\ mc\mathrm{ch}(\psi_2+\psi')+Iimc\mathrm{sh}(\psi_2+\psi')+ \end{array} $$ Что может быть сгруппировано по компоннетам: $$ \begin{array}{c} mc\left(\mathrm{ch}(\psi_1+\psi')+\mathrm{ch}(\psi_2+\psi')\right)+\\ Iimc\left(\mathrm{sh}(\psi_1+\psi')+\mathrm{sh}(\psi_2+\psi')\right) \end{array} $$ Используем как и ранее формулы для суммы гиперболических синусов и косинусов: $$ \mathrm{sh}(x)\pm \mathrm{sh}(y)=2\mathrm{sh}\left(\frac{x\pm y}{2}\right) \mathrm{ch}\left(\frac{x\mp y}{2}\right) $$ $$ \mathrm{ch}(x) + \mathrm{ch}(y)=2\mathrm{ch}\left(\frac{x\pm y}{2}\right) \mathrm{ch}\left(\frac{x - y}{2}\right) $$ И получим в действительной компоненте суммарного импульса $$ 2mc\mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1+\psi'+\psi_2+\psi'}{2}\right) \mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1+\psi'-\psi_2-\psi'}{2}\right) $$ И в векторной компоненте суммарного импульса: $$ Ii2mc\mathrm{sh}\left(frac{\psi_1+\psi'+\psi_2+\psi'}{2}\right) \mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1+\psi'-\psi_2-\psi'}{2}\right) $$ Если тела движутся навстречу друг другу, то выполняется условие $$ \psi_2=-\psi_1=-\psi $$ И в этом случае выражение суммарного импульса упрощается до: $$ 2mc\mathrm{ch}(\psi)\left(\mathrm{ch}(\psi')+Ii\mathrm{sh}(\psi')\right) $$ Если рассматривать 4-импульс системы как движение массы $2m$ с быстротой $\psi'$, то он равен $$ 2mc\left(\mathrm{ch}(\psi')+Ii\mathrm{sh}(\psi')\right) $$ Соответственно, разность энергий, возникающая из-за объединения двух тел в систему наблюдателем, равна разности найденных 4-векторов импульсов.

Раскроем полную разность 4-импульсов суммы импульсов двух тел и импульса системы тел массой $2m$, движущейся с быстротой $\psi'$: $$ \begin{array}{c} 2mc\mathrm{ch}(\psi)\left(\mathrm{ch}(\psi')+Ii\mathrm{sh}(\psi')\right)-\\ -2mc\left(\mathrm{ch}(\psi')+Ii\mathrm{sh}(\psi')\right)= \\ =2mc\mathrm{ch}(\psi')\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right)+ \\ +2Iimc\mathrm{sh}(\psi')\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right) \end{array} $$ Если мы рассматриваем преобразование Лоренца для системы тел от неопдвижного состояния с импульсов $$ 2mc+Ii0 $$ к движущемуся с быстротой $\psi'$ $$ 2mc\left(\mathrm{ch}(\psi')+Ii\mathrm{sh}(\psi')\right) $$ то для системы эквивалентом будет наличие в системе дополнительного 4 импульса, который в неподвижной относительно наблюдателя системе составлял $$ 2mc\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right) $$ и при преобразовании Лоренца преобразуется как 4-вектор $$ 2mc\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right)\rightarrow 2mc\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right)\left( \mathrm{ch}(\psi')+Ii\mathrm{sh}(\psi')\right) $$ Соответственно, можно сделать выводы, что внутренняя энергия как определенная относительно центра масс, неизменна и составляет $$ 2mc\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right) $$ Но при рассмотрении движения тел как системы она преобразуется как 4-вектор и наблюдатель движущийся относительно системы, должен видеть увеличение внутренней энергии в $\mathrm{ch}(\psi')-1$ раз.

Минимум наблюдаемой внутренней энергии приходится на внутреннюю энергию, наблюдаемую наблюдателем для которого центр масс системы неподвижен. В этом случае она равна $$ 2mc^2\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right) $$ Если же наблюдатель движется относительно этого центра масс, то внутренняя энергия равна $$ 2mc^2\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right)\left(\mathrm{ch}(\psi')-1\right) $$ В разделе релятивистской термодинамики с величиной внутренней энергии через некоторую пропорциональность связывается величина температуры тела. Рассмотривая различные модели, Планк и Эйнштейн пришли к выводу, что движущееся относительно наблюдателя тело должно восприниматься холоднее, а Отт и Арцелье что должно считаться более горячим. Если оба эти подхода сравнивают состояние движения с состоянием неподвижности относительно центра масс, то текущее исследование принимает сторону Отта-Арцелье. Но при этом нужно сделать уточнение, что текущее исследование не полагает внутреннюю энергию скаляром в чистом виде, а считает ее скалярной составляющей 4-импульса. Если изначально оба тела, входящие в систему, имеют импульсы как 4-векторы, то операции сложения, вычитания и преобразования Лоренца не меняют природу величины и внутренняя энергия должна считаться 4-импульсом и содержать также векторную часть при движении наблюдателя относительно центра масс системы тел.

Если же сопоставлять температуру со скалярной частью 4-импульса, то такая величина не является ни Лоренц-инвариантом, ни имеет преобрахования через полуоператоры, пока не будет дополнена векторной частью, по крайней мере нулевой в системе центра масс системы тел.

Одновременно с тем любой 4-вектор при преобразованиях Лоренца в силу их унитарности сохраняет свой модуль. И, если релятивистскую температуру связывать с Лоренц-ковариантной величиной, то выбрав такой модуль внутренней энергии или скорее 4-импульса, получим инвариантность такой температуры.