Для начала существенно упростим рассматриваемую ситуацию и из множества вариантов представляющих "много объектов" оставим вариант "два объекта". И в нем выберем ситуацию когда оба объекта имеют одинаковую массу. И для них выберем ситуацию когда они движутся по одной прямой, совпадающей с одной из осей.
И пусть первое тело движется с быстротой $\psi_1$, относительно наблюдателя, а второе с быстротой $\psi_1$.
Соответственно, они будут иметь импульсы $$ \begin{array}{c} p_1=mce^{\psi_1} \\ p_2=mce^{\psi_2} \\ \psi_1=Ii\psi_{1x} \\ \psi_2=Ii\psi_{2x} \end{array} $$ Пусть эти тела движутся достаточно недалеко друг от друга. Так, что издали их гравитационное поле выглядело практически неотличимо от поля одного объекта. Поскольку в некоторой области находятся две массы $m$, то при попытке воздействовать на них некоторой внешней силой как на единую систему они будут проявлять инертные свойства суммы масс, а именно как если бы инерциально сопротивлялась изменению скорости масса $2m$.
То есть имея на самом деле лишь два объекта, вводя понятие системы объектов мы получили более крупный объект с массой равной сумме их масс. Если предположить что в силу некоторых сложившихся обстоятельств эти массы двигались бы в одну сторону неподалеку друг от друга, то общий импульс системы таких масс был бы равен $$ mce^{\psi_1}+mce^{\psi_2} $$ И если бы скорости совпадали не только по направлению но и по величине, то было бы $$ 2mce^{\psi} $$ То есть как если бы это был один объект с массой $2m$.
Но если они движутся с разными быстротами, то раскроем сумму импульсов: $$ \begin{array}{c} mc\mathrm{ch}(\psi_1)+Iimc\mathrm{sh}(\psi_1)+ \\ mc\mathrm{ch}(\psi_2)+Iimc\mathrm{sh}(\psi_2)+ \end{array} $$ Сгруппируем по компонентам: $$ \begin{array}{c} mc\left(\mathrm{ch}(\psi_1)+\mathrm{ch}(\psi_2)\right)+\\ Iimc\left(\mathrm{sh}(\psi_1)+\mathrm{sh}(\psi_2)\right) \end{array} $$ Для гиперболических синусов и косинусов, как и для тригонометрических, есть формулы преобразования суммы и разностей: $$ \mathrm{sh}(x)\pm \mathrm{sh}(y)=2\mathrm{sh}\left(\frac{x\pm y}{2}\right) \mathrm{ch}\left(\frac{x\mp y}{2}\right) $$ $$ \mathrm{ch}(x) + \mathrm{ch}(y)=2\mathrm{ch}\left(\frac{x\pm y}{2}\right) \mathrm{ch}\left(\frac{x - y}{2}\right) $$ Соответственно, сумма импульсов системы получается: $$ 2mc\mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1-\psi_2}{2}\right) \left(\mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1+\psi_2}{2}\right)+ Ii\mathrm{sh}\left(\frac{\psi_1+\psi_2}{2}\right)\right) $$ Если оба объекта движутся в одну сторону и с одинаковой быстротой, то $$ \mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1-\psi_2}{2}\right)=1 $$ $$ \mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1+\psi_2}{2}\right)=\mathrm{ch}(\psi) $$ $$ \mathrm{sh}\left(\frac{\psi_1+\psi_2}{2}\right)=\mathrm{sh}(\psi) $$ Что привело бы к привычному простому варианту $$ 2mc\left(\mathrm{ch}(\psi)+Ii\mathrm{sh}(\psi)\right) $$ Если же объекты движутся противоположно друг другу с одинаковой по величине быстротой, то $$ \psi_2=-\psi_1=-\psi $$ $$ \mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1-\psi_2}{2}\right)=\mathrm{ch}(\psi) $$ $$ \mathrm{ch}\left(\frac{\psi_1+\psi_2}{2}\right)=1 $$ $$ \mathrm{sh}\left(\frac{\psi_1+\psi_2}{2}\right)=0 $$ Что соответствует нулевому векторному импульсу и ненулевой энергии: $$ 2mc\mathrm{ch}(\psi)+Ii0 $$ Поскольку векторная составляющая общего 4-импульса нулевая, этот итоговый составной объект покоится в системе отсчета центра масс, поскольку система центра масс отсчитывается именно так, чтобы в ней покоиться.
Получается, что если мы извне наблюдаем систему таких двух объектов, то она должна была бы вести себя как покоящееся тело с массой $2m$ и, соответственно, импульсом $$ 2mc $$ Но, выполнив сложение входящих в систему импульсов, мы получили 4-импульс $$ 2mc\mathrm{ch}(\psi) $$ Причем это увеличение на $$ 2mc\left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right) $$ произошло лишь из-за мнения наблюдателя, то есть субъективного объединения двух тел в систему, представленную как-бы одним телом, но условным. Сама величина $$ \left(\mathrm{ch}(\psi)-1\right) $$ уже рассматривалась в посте Про кинетическую энергию \begin{verbatim} https://thedarkaugust.blogspot.com/2019/09/blog-post.html \end{verbatim} Если считать что $$ \mathrm{th}(\psi)=v/c $$ где $v$ - обычная кинетическая скорость, то пренебрегая порядками степени больше 2 в ращложении функции $\mathrm{ch}(\psi)$ в ряд Тейлора, получаем что система из двух летящих навстречу друг другу (или друг от друга) тел массой $m$ эквивалентна снаружи одному неподвижному телу массой $2m$ и 4-импульсом $2mc$, но внутри которого есть еще некоторая энергия.
Еще раз надо отметить, что появление этой энергии внутри составной системц тел есть лишь результат мнения наблюдателя, решившего наблюдать два тела как систему.
И, если вернуться к ряду Тейлора, то добавленная энергия в малых скоростях $v$ оценочно составляет $$ 2mc\frac{v^2}{2c^2} $$ Поскольку в физике энергия входящая в 4-импульс есть $$ E=p_0c $$ то добавляемая в систему энергия есть $$ \Delta E=2m\frac{v^2}{2} $$ Это составляет кинетическую энергию обеих тел но в системе центра масс.
Строго говоря, в выражение для импульсов входит не только кинематическая составляющая, но и полевые, потенциальные импульсы. И, если система тел достаточно компактна, чтобы оба тела находились в равных потенциальных полях и сами по себе они не слишком массивны чтобы отклонять друг друга, то потенциальными составляющими при рассмотрении системы тел можно пренебречь.
Резюмируем: благодаря произволу наблюдателя, решившего наблюдать несколько тел как одно в виде системы тел такая система имеет кроме собственного 4-импульса дополнительную внутреннюю энергию.
Преобразование преобразования
https://thedarkaugust.blogspot.com/2022/12/blog-post_41.html
Относительная кинетическая энергия
https://thedarkaugust.blogspot.com/2022/12/blog-post_10.html
Про кинетическую энергию
https://thedarkaugust.blogspot.com/2019/09/blog-post.html
Комментариев нет:
Отправить комментарий