Полуоператоры для спиноров по осям

Оператор группы Лоренца

Для получения полуоператоров группы Лоренца по осям для спиноров скомбинируем две ранее определенные функции, получения экспоненты векторного бикватерниона и конструирования матрицы симплектического представления бикватерниона.

Преобразование спинора выполняется умножением на него только одного полуоператора в виде $$ \xi'=e^{\psi+\varphi}\xi $$ По этой причине сам полуоператор выглядит как оператор при использовании матричной записи. Поскольку в параметры оператора входят полные величины $\psi+\varphi$, а в параметры полулператора только их половины $\psi/2+\varphi/2$ то видится важным не потерять это различие.

makeexp(x1,x2,x3,x5,x6,x7):=
(
  Fsqrt:sqrt((x5+%i*x1)^2+
    (x6+%i*x2)^2+(x7+%i*x3)^2),
  Fsin:sin(Fsqrt),
  Fcos:cos(Fsqrt),
  [
    realpart(Fcos),
    imagpart(Fsin/Fsqrt*(x5+%i*x1)),
    imagpart(Fsin/Fsqrt*(x6+%i*x2)),
    imagpart(Fsin/Fsqrt*(x7+%i*x3)),
    imagpart(Fcos),
    realpart(Fsin/Fsqrt*(x5+%i*x1)),
    realpart(Fsin/Fsqrt*(x6+%i*x2)),
    realpart(Fsin/Fsqrt*(x7+%i*x3))
  ]
);

smakemat(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7):=
(
matrix([x0-x1+%i*(x4+x5), -x3+x6+%i*(x2+x7)],
  [-x3-x6+%i*(-x2+x7), x0+x1+%i*(x4-x5)])
);

smakeop(x1,x2,x3,x5,x6,x7):=
(
  r:makeexp(x1,x2,x3,x5,x6,x7),
  smakemat(r[1],r[2],r[3],r[4],
    r[5],r[6],r[7],r[8])
);

Для получения полуоператора преобразования спинора при преобразовании буста по оси X подставим параметр быстроты по направлению $x$:

smakeop(psi[x]/2,0,0,0,0,0);

Получаем полуоператор в виде $$ \left( \begin{array}{cc} \mathrm{ch}(|\psi_x|/2)-\psi_x\mathrm{sh}(|\psi_x|/2)/|\psi_x| & 0 \\ 0 & \psi_x\mathrm{sh}(|\psi_x|/2)/|\psi_x| + \mathrm{ch}(|\psi_x|/2) \end{array} \right) $$ Используя правила четности гиперболических функций можем упростить этот полуоператор до более короткого вида: $$ \left( \begin{array}{cc} \mathrm{ch}(\psi_x/2)-\mathrm{sh}(\psi_x/2) & 0 \\ 0 & \mathrm{sh}(\psi_x/2) + \mathrm{ch}(\psi_x/2) \end{array} \right) $$ Также можно использовать правила преобразования сумм и разностей гиперболических функций в экспоненты от положительного и отрицательного аргумента, но это непринципиально.

В БСЭ приводятся правила преобразования в том же виде, но отличающиеся направлением быстроты. Функции гиперболического косинуса входят с тем же знаком, но гиперболического синуса с обратным. Это связано с тем, что в моделировании преобразований гиперкомплексных спиноров используются преобразования компонент при неизменной системе координат, а в БСЭ приводятся преобразования компонент при изменении системы координат. Поэтому направления использованных параметров противоположны.

Для получения полуоператора буста по оси Y подставим параметр $\psi_y$:

smakeop(0,psi[y]/2,0,0,0,0);

И после упрощений четности функций получаем: $$ \left( \begin{array}{cc} \mathrm{ch}(\psi_y/2) & i\mathrm{sh}(\psi_y/2) \\ -i\mathrm{sh}(\psi_y/2) & \mathrm{ch}(\psi_y/2) \end{array} \right) $$ Для получения полуоператора буста по оси Z подставим параметр $\psi_z$:

smakeop(0,0,psi[z]/2,0,0,0);

И после упрощений четности функций получаем: $$ \left( \begin{array}{cc} \mathrm{ch}(\psi_z/2) & -\mathrm{sh}(\psi_z/2) \\ -\mathrm{sh}(\psi_z/2) & \mathrm{ch}(\psi_z/2) \end{array} \right) $$ Для получения полуоператора поворота подставим параметр $\varphi_x$:

smakeop(0,0,0,phi[x]/2,0,0);

После частичного упрощения согласно правилам четности тригонометрических функций можем сделать упрощение результата до: $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(\varphi_x/2)+i\sin(\varphi_x/2) & 0 \\ 0 & \cos(\varphi_x/2)+i\sin(\varphi_x/2) \end{array} \right) $$ Для получения полуоператора поворота по оси Y подставим параметр $\varphi_y$:

smakeop(0,0,0,0,phi[y]/2,0);

И после частичного упрощения получаем $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(\varphi_y/2) & \sin(\varphi_y/2) \\ -\sin(\varphi_y/2) & \cos(\varphi_y/2) \end{array} \right) $$ Для получения полуоператора поворота по оси Z подставим параметр $\varphi_z$:

smakeop(0,0,0,0,0,phi[z]/2);

И после частичного упрощения получаем $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(\varphi_y/2) & i\sin(\varphi_y/2) \\ \sin(\varphi_y/2) & \cos(\varphi_y/2) \end{array} \right) $$

Оператор группы Лоренца