Оператор группы Лоренца
Преобразования Лоренца мы привыкли видеть в сильно упрощенном виде, в виде
оператора буста по одной из осей. Это как раз тот случай, когда упрощение может
создать представление что он именно таков.
Традиционно его представляют в виде матрицы
$$
\left(
\begin{array}{cc}
\mathrm{ch}(\psi) & \mathrm{sh}(\psi) \\
\mathrm{sh}(\psi) & \mathrm{ch}(\psi)
\end{array}
\right)
$$
Здесь $\psi$ - быстрота движения. Другой вариант использует замену
гиперболических функций на корень квадратный. Если расписать линейное
преобразование, представленное выше, то скорость движения в точке нуля
выражается через быстроту как
$$
v/c=\mathrm{th}(\psi)
$$
Используя это соотношение, можно сделать замену вышеприведенной матрицы
оператора на матрицу, выраженную через квадратные корни:
$$
\left(
\begin{array}{cc}
\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} & \frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \\
\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
\end{array}
\right)
$$
Если в первом варианте явно виден гиперболический поворот, то во втором уже нет.
Преобразование Лоренца может быть задано не только бустом вдоль какой-то одной
оси, но и линейной комбинацией быстрот по осям, образующим 3-мерный вектор:
$$
\left(
\begin{array}{c}
\psi_x \\
\psi_y \\
\psi_z
\end{array}
\right)
$$
И построить итоговую матрицу оператора в виде произведений отдельных
преобразований не получится, поскольку эти операторы некоммутативны между собой.
Следствием их некоммутативности также является то, что произведение двух
операторов бустов дает оператор, не являющийся в чистом виде оператором буста,
но его можно представить в виде оператора буста умноженного слева или справа на
оператор трехмерного поворота.
И, если следовать определению группы, когда произведение двух элементов группы
дает элемент той же группы, для получения полной группы операторы бустов
объединяются с операторами поворотов. При этом параметр бустроты объединяется с
параметром угла поворота не в вектор, а в бивектор
$$
\left(
\begin{array}{c}
\psi_x \\
\psi_y \\
\psi_z \\
\varphi_x \\
\varphi_y \\
\varphi_z
\end{array}
\right)
$$
И первые три параметра задают полярный 3-мерный параметр быстроты, вторая тройка
задает аксиальный 3-мерный параметр углов. В целом этот бивектор также
преобразуется при преобразованиях Лоренца как бивектор.
Когда задались вопросом как выглядит матрица оператора трехмерного поворота в
элементарных функциях, было найдено, что если параметр задан углами в виде
вектора
$$
\left(
\begin{array}{c}
\varphi_x \\
\varphi_y \\
\varphi_z
\end{array}
\right)
$$
и если для сокращения записи ввести обозначение
$$
\Theta=\sqrt{\varphi_x^2 + \varphi_y^2 + \varphi_z^2}
$$
то коэффициенты матрицы оператора имеют вид
$$
\begin{array}{l}
A_{11} = 1 \\
A_{12} = 0 \\
A_{13} = 0 \\
A_{14} = 0 \\
A_{21} = 0 \\
A_{22} = \cos(\Theta)+(1-\cos(\Theta))\varphi_x^2/\Theta^2 \\
A_{23} = (1-\cos(\Theta))\varphi_x\varphi_y/\Theta^2-
\sin(\Theta)\varphi_z/\Theta\\
A_{24} = (1-\cos(\Theta))\varphi_x\varphi_z/\Theta^2+
\sin(\Theta)\varphi_y/\Theta\\
A_{31} = 0 \\
A_{32} = (1-\cos(\Theta))\varphi_y\varphi_x/\Theta^2+
\sin(\Theta)\varphi_z/\Theta\\
A_{33} = \cos(\Theta)+(1-\cos(\Theta))\varphi_y^2/\Theta^2\\
A_{34} = (1-\cos(\Theta))\varphi_y\varphi_z/\Theta^2-
\sin(\Theta)\varphi_x/\Theta\\
A_{41} = 0 \\
A_{42} = (1-\cos(\Theta))\varphi_z\varphi_x/\Theta^2-
\sin(\Theta)\varphi_y/\Theta\\
A_{43} = (1-\cos(\Theta))\varphi_z\varphi_y/\Theta^2+
\sin(\Theta)\varphi_x/\Theta\\
A_{44} = \cos(\Theta)+(1-\cos(\Theta))\varphi_z^2/\Theta^2
\end{array}
$$
Этот оператор может быть найден используя и векторный и кватернионный
формализмы.
Рассмотрим вывод с использованием векторного формализма. Поскольку вращение не
изменяет временную составляющую, первая строка и первая колонка оператора
состоят из единицы на диагонали, о остальное нули. Далее для простоты сузим
оператор до матрицы 3x3, действующей на компоненты 3-мерного вектора.
Обозначим исходный вектор как ${\bf r}$ в исходном базисе
$$
\left(
\begin{array}{c}
r_x \\ r_y \\ r_z
\end{array}
\right)
$$
Результат поворота обозначим как ${\bf r}'$ в том же базисе:
$$
\left(
\begin{array}{c}
r'_x \\ r'_y \\ r'_z
\end{array}
\right)
$$
Для построения преобразования используем известный о вращении факт что
параллельная оси вращения составляющая исходного вектора не изменяется и что
перпендикулярная оси часть вращается в плоскости перпендикулярной оси вращения
оператором поворота, известным ранее способом:
$$
\left(
\begin{array}{rr}
\cos|\varphi| & -\sin|\varphi| \\
\sin|\varphi| & \cos|\varphi|
\end{array}
\right)
$$
Вектор оси вращения разложим на произведение его модуля и единичного
направления:
$$
\varphi = {\bf n}|\varphi|
$$
$$
|\varphi|=\sqrt{\varphi_x^2+\varphi_y^2+\varphi_z^2}
$$
И разложим векторы ${\bf r}$ и ${\bf r}'$ относительно вектора ${\bf n}$:
$$
\begin{array}{c}
{\bf r}={\bf r}_{\bot}+{\bf r}_{||} \\
{\bf r}'={\bf r}'_{\bot}+{\bf r}'_{||} \\
{\bf r}_{\bot}\bot {\bf n} \\
{\bf r}_{||} || {\bf n}
\end{array}
$$
Поскольку параллельная составляющая не изменяется, то
$$
{\bf r}'_{||}={\bf r}_{||}
$$
Для ее определения используем свойства скалярного произведения:
$$
{\bf r}_{||}=({\bf r},{\bf n}){\bf n}
$$
Соответственно, перпендикулярная составляющая равна:
$$
{\bf r}_{\bot}={\bf r}-({\bf r},{\bf n}){\bf n}
$$
Далее перейдем к базису, образованному векторами ${\bf a}$, ${\bf b}$ и ${\bf
n}$:
$$
\begin{array}{c}
{\bf a}={\bf r}_{\bot} \\
{\bf b}=[{\bf n}\times{\bf r}_{\bot}]
\end{array}
$$
Используя свойства векторного произведения, второе выражение упростим:
$$
[{\bf n}\times{\bf r}_{\bot}]=
[{\bf n}\times({\bf r}-({\bf r},{\bf n}){\bf n})]=
[{\bf n}\times{\bf r}]
$$
В базисе из векторов ${\bf a}$ и ${\bf b}$ вектор ${\bf r}_{\bot}$ имеет
коэффициенты $\left(\begin{array}{cc}1 & 0\end{array}\right)$ и при вращении
вокруг оси ${\bf n}$ на угол $|\varphi|$ переходит в вектор ${\bf r}'_{\bot}$:
$$
\left(
\begin{array}{rr}
\cos|\varphi| & -\sin|\varphi| \\
\sin|\varphi| & \cos|\varphi|
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
1 \\ 0
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{c}
\cos|\varphi| \\ \sin|\varphi|
\end{array}
\right)
$$
Применим эти коэффициенты к базису из векторов ${\bf a}$ и ${\bf b}$, и получим
выражение для ${\bf r}'_{\bot}$:
$$
{\bf r}'_{\bot}=\cos|\varphi|({\bf r}-({\bf r},{\bf n}){\bf n})
+ \sin|\varphi|[{\bf n}\times{\bf r}]
$$
Соответственно, общий результат поворота составит:
$$
{\bf r}'=\cos|\varphi|({\bf r}-({\bf r},{\bf n}){\bf n})
+ \sin|\varphi|[{\bf n}\times{\bf r}]+({\bf r},{\bf n}){\bf n}
$$
Если выписать векторные величины слева и справа в компонентах, то справа
получится линейная комбинация, эквивалентная произведению матрицы оператора на
вектор.
Чтобы представить вращение в кватернионном формализме, используем ${\bf r}$ как
мнимый кватернион
$$
0 + ir_x+jr_y+kr_z
$$
И используем аналог формулы Эйлера для комплексных чисел применительно к
кватернионам при мнимом аргументе:
$$
e^x=\cos(x)+x/|x|\sin(x)
$$
Строго говоря, здесь в правой части и синус и косинус используют в качестве
аргумента модули, а именно
$$
e^x=\cos(|x|)+x/|x|\sin(|x|)
$$
но в нашем случае это не принципиально, и далее в аргументе тригонометрических
функция используется именно модуль угла как 3-мерного вектора.
В нашем случае аргумент полуоператора есть половинный угол и используя
разложение на $\varphi={\bf n}|\varphi|$ представим вращение в обозначениях,
аналогичных использованным ранее:
$$
r'=e^{\varphi/2}re^{-\varphi/2}
$$
Здесь $\varphi$ мнимый кватернион.
Поскольку скалярная часть не изменяется и остается нулевой, опустим ее у
радиус-векторов, также для простоты опустим модули у аргументов
тригонометрических функций.
$$
{\bf r}'=(\cos\varphi/2+{\bf n}\sin\varphi/2){\bf r}
(\cos\varphi/2-{\bf n}\sin\varphi/2)
$$
Раскроем это выражение, используя свойства произведений кватернионов:
$$
ab=-(a,b)+[a\times b]
$$
$$
\begin{array}{c}
(\cos\varphi/2+{\bf n}\sin\varphi/2){\bf r}
(\cos\varphi/2-{\bf n}\sin\varphi/2) =\\
({\bf r}\cos\varphi/2-({\bf n},{\bf r})\sin\varphi/2+
[{\bf n\times{\bf r}}]\sin\varphi/2)\\
(\cos\varphi/2-{\bf n}\sin\varphi/2) = \\
r\cos^2\varphi/2+({\bf r},{\bf n})\cos\varphi/2\sin\varphi/2-
[{\bf r}\times{\bf n}]\cos\varphi/2\sin\varphi/2- \\
- ({\bf r},{\bf n})\cos\varphi/2\sin\varphi/2
+({\bf n},{\bf r}){\bf n}\sin^2\varphi/2+
[{\bf n\times{\bf r}}]\sin\varphi/2\cos\varphi/2+ \\
+([{\bf n\times{\bf r}}],{\bf n})\sin^2\varphi/2-
[[{\bf n\times{\bf r}}]\times{\bf n}]\sin^2\varphi/2
\end{array}
$$
Второе, четвертое и седьмое слагаемые сокращаются до нуля, далее раскроем
двойное векторное произведение и используем формулы двойного угла:
$$
\begin{array}{c}
{\bf r}'={\bf r}\cos^2\varphi/2+[{\bf n}\times{\bf r}]\sin\varphi+ \\
({\bf n}({\bf n},{\bf r}))\sin^2\varphi/2-
{\bf r}({\bf n},{\bf n})\sin^2\varphi/2
\end{array}
$$
Используя тот факт, что $|{\bf n}|=1$ и формулы двойного угла, получим:
$$
{\bf r}'={\bf r}\cos\varphi+[{\bf n}\times{\bf r}]\sin\varphi+
({\bf n}({\bf n},{\bf r}))2\sin^2\varphi/2
$$
Используя формулу двойного угла
$$
\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x
$$
получим выражение для квадрата синуса половинного угла:
$$
2\sin^2\varphi/2=1-\cos\varphi
$$
И общее выражение преобразуется к виду
$$
{\bf r}'={\bf r}\cos\varphi+[{\bf n}\times{\bf r}]\sin\varphi+
({\bf n}({\bf n},{\bf r}))(1-\cos\varphi)
$$
Слагаемые, содержащие $\cos\varphi$, могут быть перегруппированы:
$$
{\bf r}'=({\bf r}-{\bf n}({\bf n},{\bf r})\cos\varphi)+
[{\bf n}\times{\bf r}]\sin\varphi+{\bf n}({\bf n},{\bf r})
$$
В итоге получилась та же формула, что и при использовании векторного формализма.
Аналогичным образом, используя как векторный так и кватернионный формализм,
могут быть получены операторы бустов при задании 3-мерного параметра быстроты.
Для моделирования буста при произвольном направлении скорости зададим бустроту
как величину быстроты $\psi$ умноженную на единичный вектор ${\bf n}$. Как и для
преобразования поворота мы можем составить суждение о преобразовании при бусте
параллельной и перпендикулярной составляющих. А именно, перпендикулярная
составляющая векторной части ${\bf r}_{\bot}$ не изменяется, а продольная
участвует с временем в гиперболическом повороте, образуя собой пространственную
ось это пространственно-временной плоскости.
Разложим исходные и результирующие векторы на параллельные и перпендикулярные к
направлению буста ${\bf n}$ составляющие:
$$
\begin{array}{c}
{\bf r}={\bf r}_{\bot}+{\bf r}_{||} \\
{\bf r}'={\bf r}'_{\bot}+{\bf r}'_{||} \\
{\bf r}_{||}=({\bf r},{\bf n}){\bf n} \\
{\bf r}'_{\bot}={\bf r}_{\bot}
\end{array}
$$
В таких обозначениях пространственно-временной поворот может быть представлен
как:
$$
\left(
\begin{array}{c}
ct' \\ {\bf r}'_{||}
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
\mathrm{ch}(\psi) & \mathrm{sh}(\psi) \\
\mathrm{sh}(\psi) & \mathrm{ch}(\psi)
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
ct \\
({\bf r},{\bf n}){\bf n}
\end{array}
\right)
$$
Тогда результат преобразования равен
$$
\begin{array}{c}
ct'+{\bf r}'=\mathrm{ch}(\psi)ct+
\mathrm{sh}(\psi)({\bf r},{\bf n}){\bf n} + \\
+ \mathrm{sh}(\psi)ct+\mathrm{ch}(\psi)({\bf r},{\bf n}){\bf n}+
{\bf r} - ({\bf r},{\bf n}){\bf n}
\end{array}
$$
И, если чуть сгруппировать, то:
$$
\begin{array}{c}
ct'+{\bf r}'=\mathrm{ch}(\psi)ct+
\mathrm{sh}(\psi)({\bf r},{\bf n}){\bf n}+ \\
+\mathrm{sh}(\psi)ct
+(\mathrm{ch}(\psi)-1)({\bf r},{\bf n}){\bf n}+{\bf r}
\end{array}
$$
Здесь был использован базис с одной осью в направлении оси времени и с другой
осью в направлении пространственной оси. Вектор в такой плоскости имеет,
соответственно, сумму составляющих по этому базису. То есть одновременно сумму и
скаляра и пространственного вектора.
Для вывода того же преобразования в гиперкомплексном формализме используем
представление преобразования буста через полуоператоры:
$$
r'=e^{\psi/2}r{e^{\overline{\psi/2}}}^*
$$
Справа стоит полуоператор, сопряженный к левому скалярно-векторно. При таких
сопряжениях полярный вектор быстроты меняет знак дважды:
$$
r'=e^{Ii\psi_x/2+Ij\psi_y/2+Ik\psi_z/2}re^{Ii\psi_x/2+Ij\psi_y/2+Ik\psi_z/2}
$$
Для упрощения записи разложим быстроту на произведение величины на единичный
вектор:
$$
\begin{array}{c}
\psi=I{\bf n}|\psi| \\
{\bf n}=(i\psi_x+j\psi_y+k\psi)/|\psi|
\end{array}
$$
Поскольку мнимые единицы $Ii$, $Ij$ и $Ik$ в квадрате дают 1, а не -1, как в
кватернионах, применение функции Эйлера к таким числам дает не
тригонометрические, а гиперболические синусы и косинусы:
$$
e^{\psi/2}=\mathrm{ch}(\psi/2)+I{\bf n}\mathrm{sh}(\psi/2)
$$
Здесь уже опускается для упрощения записи знак молуля быстроты. Далее раскроем и
упростим полученное гиперкомплексное выражение в векторных обозначениях для
приведения к сравнимому с векторным формализмом результату.
$$
\begin{array}{c}
r'=(\mathrm{ch}(\psi/2)+I{\bf n}\mathrm{sh}(\psi/2))
(r_0+I{\bf r})(\mathrm{ch}(\psi/2)+I{\bf n}\mathrm{sh}(\psi/2))= \\
(\mathrm{ch}(\psi/2)+I{\bf n}\mathrm{sh}(\psi/2))(x_0\mathrm{ch}(\psi/2)+ \\
+Ir_0{\bf n}\mathrm{sh}(\psi/2)+
I{\bf r}\mathrm{ch}(\psi/2)+({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}(\psi/2)-
[{\bf r},{\bf n}]\mathrm{sh}(\psi/2))
\end{array}
$$
Здесь мы учли, что $I^2=-1$. И раскрываем первое произведение:
$$
\begin{array}{c}
r'=r_0\mathrm{ch}^2(\psi/2)+Ix_0{\bf n}\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)+\\
+I{\bf r}\mathrm{ch}^2(\psi/2)+({\bf r},{\bf
n})\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)- \\
-[{\bf r},{\bf n}]\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)+
I{\bf n}t_0\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)
- \\
-{\bf n}^2r_0\mathrm{sh}^2(\psi/2)+
({\bf n},{\bf r})\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)- \\
-[{\bf n},{\bf r}]\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)+
I{\bf n}({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}^2(\psi/2)- \\
-I\{-({\bf n},[{\bf r},{\bf n}])+
[{\bf n},[{\bf r},{\bf n}]]\}\mathrm{sh}^2(\psi/2)
\end{array}
$$
Здесь произведем следующие упрощения. Поскольку по исходному выбору величина
${\bf n}$ единица, то
$$
{\bf n}^2=-({\bf n},{\bf n})+[{\bf n},{\bf n}]=-1+0=-1
$$
Следовательно,
$$
r_0\mathrm{ch}^2(\psi/2)-{\bf n}^2r_0\mathrm{sh}^2(\psi/2)=r_0\mathrm{ch}(\psi)
$$
В силу антикоммутативности векторного произведения сумма
$$
-[{\bf r},{\bf n}]\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)-[{\bf n},{\bf
r}]\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)
=0
$$
Еще одна сумма упрощается в силу коммутативности скалярного произведения:
$$
({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)+({\bf n},{\bf
r})\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)=
({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}(\psi)
$$
В силу ортогональности векторного произведения любому его аргументу равно нулю и
следующее:
$$
({\bf n},[{\bf r},{\bf n}])=0
$$
И после проведенных сокращений и упрощений получаем промежуточный результат:
$$
\begin{array}{c}
r'=r_0\mathrm{ch}(\psi)+Ir_0{\bf n}\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)+ \\
+I{\bf r}\mathrm{ch}^2(\psi/2)+({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}(\psi)+ \\
+I{\bf n}r_0\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)+
I{\bf n}({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}^2(\psi/2)- \\
-I[{\bf n},[{\bf r},{\bf n}]]\mathrm{sh}^2(\psi/2)
\end{array}
$$
Здесь можем провести упрощение
$$
2Ir_0\mathrm{sh}(\psi/2)\mathrm{ch}(\psi/2)=Ir_0{\bf n}\mathrm{sh}(\psi)
$$
И раскроем двойное векторное произведение:
$$
[{\bf n},[{\bf r},{\bf n}]]={\bf r}({\bf n},{\bf n})-{\bf n}({\bf n},{\bf r})
$$
И учтем, что величина вектора ${\bf n}$ (по его получению) единица
$$
({\bf n},{\bf n})=1
$$
$$
\begin{array}{c}
r'=r_0\mathrm{ch}(\psi)+Ir_0{\bf n}\mathrm{sh}(\psi)+I{\bf
r}\mathrm{ch}^2(\psi/2)+ \\
+({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}(\psi)+
I{\bf n}({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}^2(\psi/2) - \\
-I{\bf r}\mathrm{sh}^2(\psi/2)+I{\bf n}({\bf n},{\bf r})\mathrm{sh}^2(\psi/2)
\end{array}
$$
Здесь можем учесть, что
$$
I{\bf r}\mathrm{ch}^2(\psi/2)-I{\bf r}\mathrm{sh}^2(\psi/2)=I{\bf r}
$$
$$
\begin{array}{c}
r'=r_0\mathrm{ch}(\psi)+Ir_0{\bf n}\mathrm{sh}(\psi)+
({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}(\psi)+\\
+I{\bf r}+2I{\bf n}({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}^2(\psi/2)
\end{array}
$$
Далее мы можем учесть соотношение для гиперболического косинуса двойного
аргумента:
$$
\mathrm{ch}(2x)=1+2\mathrm{sh}^2(x)
$$
откуда следует, что
$$
2\mathrm{sh}^2(\psi/2)=\mathrm{ch}(\psi)-1
$$
Итого, получаем:
$$
\begin{array}{c}
r'=r_0\mathrm{ch}(\psi)+Ir_0{\bf n}\mathrm{sh}(\psi)+
({\bf r},{\bf n})\mathrm{sh}(\psi)+\\
+I{\bf r}+I{\bf n}({\bf r},{\bf n})(\mathrm{ch}(\psi)-1)
\end{array}
$$
Оба формализма, и векторный и гиперкомплексный, дают один и тот же результат как
в случае описания поворотов, так и в случае описания бустов. Оба дают для таких
частных случаев результат в элементарных функциях.
Далее стоит задача получения оператора группы Лоренца для случая когда и
быстрота и угол поворота заданы одновременно, в одном бивекторе. Здесь,
очевидно, не подходит разложение на композицию двух преобразований, поскольку в
общем случае быстрота и угол некоммутативны друг с другом:
$$
e^{\psi+\varphi}\neq e^{\varphi}e^{\psi}\neq e^{\psi}e^{\varphi}
$$
Исключение составляет случай когда быстрота и угол коллинеарны. В этом случае
матрица оператора, безусловно, может быть получена на основе ранее полученных,
например, при задании быстроты и угла по оси $X$:
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
\mathrm{ch}(\psi_x) & \mathrm{sh}(\psi_x) & 0 & 0 \\
\mathrm{sh}(\psi_x) & \mathrm{ch}(\psi_x) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos(\varphi_x) & -\sin(\varphi_x) \\
0 & 0 & \sin(\varphi_x) & \cos(\varphi_x)
\end{array}
\right)
=
$$
$$
=
\left(
\begin{array}{cccc}
\mathrm{ch}(\psi_x) & \mathrm{sh}(\psi_x) & 0 & 0 \\
\mathrm{sh}(\psi_x) & \mathrm{ch}(\psi_x) & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos(\varphi_x) & -\sin(\varphi_x) \\
0 & 0 & \sin(\varphi_x) & \cos(\varphi_x)
\end{array}
\right)
$$
Приведенные выше методы, основанные на векторном формализме, были, кроме того,
основаны на остроумных наблюдениях за преобразованиями параллельных и
перпендикулярных составляющих 3-мерных векторов. Но предстоит оперировать не
3-мерными объектами параметров, а 3+3-мерным бивектором параметров. Как в этом
случае выглядят построения преобразований поворотов и бустов относительно
параллельных и перпендикулярных составляющих, ответ пока неизвестен, хотя он
вполне может быть.
Построение преобразований в гиперкомплексном формализме вполне допускает
составление полуоператоров в аналитической форме, и проблема не только в
громоздкости такого результата. Получается новый результат, который предстоит
проверить на корректность. В качестве такого опорного метода проверки выбрано
численное сравнение вычисленных по аналитическому представлению коэффициентов с
матричной экспонентой. Матричная экспонента может быть получена на основе
инфинитезимальных генераторов.
Матричная экспонента вычисляется как экспоненциальный ряд от матрицы
$$
G_x\psi_x+G_y\psi_y+G_z\psi_z+J_x\varphi_x+J_y\varphi_y+J_z\varphi_z
$$
Здесь $G_i$ - инфинитезимальные генераторы бустов и $J_i$ - инфинитезимальные
генераторы поворотов.
Гиперкомплексные полуоператоры строятся как функция экспоненты от параметра
$$
Ii\psi_x+Ij\psi_y+Ik\psi_z+i\varphi_x+j\varphi_y+k\varphi_z
$$
Написание же программы, которая проведет сравнение двух наборов коэффициентов
для современного программиста не представляет такой сложности, чтобы включать
описание ее в текущую статью. Далее в статье наряду с получением коэффициентов
оператора 6-ти параметрического преобразования Лоренца строятся наборы
инфинитезимальных генераторов, причем для обоих вариантов преобразования, как
$4\times 4$ для 4-векторов, так и $6\times 6$ для бивекторов. В ним относятся, в
частности, напряженности электромагнитного поля и сами параметры преобразования
Лоренца.
Аналитические преобразования гиперкомплексных выражений, которые предстоят,
столь громоздки, что представляется невыполнимым провести их самостоятельно
вручную, избегнув ошибок совсем. По этой причине применяются методы,
ориентированные на использование системы компьютерной алгебры Maxima, включая ее
текущие ограничения и особенности работы.
Оператор группы Лоренца
Комментариев нет:
Отправить комментарий