Генераторы для бивекторов

Оператор группы Лоренца

Для вывода инфинитезимальных генераторов поступим так же как для вывода генераторов для 4-векторов. Обратимся к системе Maxima для построения произведения бикватернионов заданного вида, обозначающих малые приращения параметров для построения производной по параметру.

Поскольку бивекторы преобразуются полуоператорами, сопряженными иначе чем 4-векторы, это нужно учитывать для построения приращения. Если 4-векторы преобразуются используя скалярно-векторное сопряжение как $$ x'=e^{\psi+\varphi}xe^{\psi-\varphi} $$ то бивекторы преобразуются используя векторное сопряжение как $$ x'=e^{\psi+\varphi}xe^{-\psi-\varphi} $$ Используя определенную ранее функцию построения матричного представления, построим малое приращение бивектора для буста по оси X задав условно малый параметр символом $\alpha$:

a:makemat(0,alpha/2,0,0,0,0,0,0);
x:makemat(0,x1,x2,x3,0,x5,x6,x7);
res:a.x-x.a;

Результатом операции будет матричное представление бикватерниона, нас интересует только первый столбец. Он равен $$ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -\alpha x_7 \\ \alpha x_6 \\ 0 \\ 0 \\ \alpha x_3 \\ -\alpha x_2 \end{array} \right) $$ Здесь первая и четвертая строка соответствуют скалярной и псевдоскалярной части. Поскольку в образовании бивектора они не участвуют, оставляем остальные строки: $$ \left( \begin{array}{c} 0 \\ -\alpha x_7 \\ \alpha x_6 \\ 0 \\ \alpha x_3 \\ -\alpha x_2 \end{array} \right) $$ Соответственно, если взять производную по параметру $\alpha$, то получаемый вектор-столбец есть произведение матрицы генератора на столбец исходного бивектора: $$ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{array} \right) $$ Соответственно, инфинитезимальный генератор буста по оси X есть $$ G_x= \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Для построения генератора буста по оси Y повторим те же действия, но задав параметр по оси Y:

a:makemat(0,0,alpha/2,0,0,0,0,0);
x:makemat(0,x1,x2,x3,0,x5,x6,x7);
res:a.x-x.a;

Получаем бивектор $$ \left( \begin{array}{c} \alpha x_7 \\ 0 \\ -\alpha x_5 \\ -\alpha x_3 \\ 0 \\ \alpha x_1 \end{array} \right) $$ Который приводит к генератору $$ G_y= \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Для построения генератора буста по оси Z повторим те же действия, но задав параметр по оси Z:

a:makemat(0,0,0,alpha/2,0,0,0,0);
x:makemat(0,x1,x2,x3,0,x5,x6,x7);
res:a.x-x.a;

Получаем бивектор $$ \left( \begin{array}{c} -\alpha x_6 \\ \alpha x_5 \\ 0 \\ \alpha x_2 \\ -\alpha x_1 \\ 0 \end{array} \right) $$ Который приводит к генератору $$ G_z= \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Для построения генератора оператора поворота по оси X зададим параметр поворота по оси X:

a:makemat(0,0,0,0,0,alpha/2,0,0);
x:makemat(0,x1,x2,x3,0,x5,x6,x7);
res:a.x-x.a;

Получаем бивектор $$ \left( \begin{array}{c} 0 \\ -\alpha x_3 \\ \alpha x_2 \\ 0 \\ -\alpha x_7 \\ \alpha x_6 \end{array} \right) $$ Который приводит к генератору поворота по оси X: $$ J_x= \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) $$ Для построения генератора оператора поворота по оси Y зададим параметр поворота по оси Y:

a:makemat(0,0,0,0,0,0,alpha/2,0);
x:makemat(0,x1,x2,x3,0,x5,x6,x7);
res:a.x-x.a;

Получаем бивектор $$ \left( \begin{array}{c} \alpha x_3 \\ 0 \\ -\alpha x_1 \\ \alpha x_7 \\ 0 \\ -\alpha x_5 \end{array} \right) $$ Который приводит к генератору поворота по оси Y: $$ J_y= \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Для построения генератора оператора поворота по оси Z зададим параметр поворота по оси Z:

a:makemat(0,0,0,0,0,0,0,alpha/2);
x:makemat(0,x1,x2,x3,0,x5,x6,x7);
res:a.x-x.a;

Получаем бивектор $$ \left( \begin{array}{c} -\alpha x_2 \\ \alpha x_1 \\ 0 \\ -\alpha x_6 \\ \alpha x_5 \\ 0 \end{array} \right) $$ Который приводит к генератору поворота по оси Z: $$ J_z= \left( \begin{array}{cccccc} 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти генераторы удовлетворяют тем же соотношениям коммутации, что и генераторы для 4-векторов: $$ [J_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}J_k $$ $$ [G_i,G_j]=-\varepsilon_{ijk}J_k $$ $$ [G_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}G_k $$ Здесь $\varepsilon_{ijk}$ - символ Леви-Чивита, равный 1 если тройка индексов $ijk$ правая, -1 если левая, и 0 если по меньшей мере два индекса повторяются.

Оператор группы Лоренца