Генераторы для 4-векторов

Оператор группы Лоренца

Для построения генераторов группы Лоренца для 4-векторов рассмотрим формирование генератора как производной по параметру преобразования при нулевых значениях параметров.

Для преобразования Лоренца для 4-векторов правый полуоператор является скалярно-векторно сопряженным к левому, то есть аксиальные параметры в экспоненциальном представлении меняют знак, а полярные меняют знак дважды, то есть не меняют знак.

Положим, что величина $\alpha$ задает малый первого порядка малости параметр быстроты по оси X. В этом случае приращение 4-вектора определяется как (опуская указание мнимой единицы $Ii$ при параметре $\alpha$) $$ X + \Delta X = e^{\alpha/2}Xe^{\alpha/2} $$ $$ \Delta X \approx (1+\alpha/2)X(1+\alpha/2) - X= \alpha/2 X+X\alpha/2 $$ Сформируем рассмотренными ранее матричным представлением это произведение:

a:makemat(0,alpha/2,0,0,0,0,0,0);
x:makemat(x0,x1,x2,x3,0,0,0,0);
R:a.x+x.a;

В переменной res получаем матричное представление бикватерниона произведения. Первая колонка этой матрицы представляет результат произведения, или $$ R=\left( \begin{array}{c} \alpha x_1 \\ \alpha x_0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) $$ Мы рссматриваем только первые 4 строки, соответствующие скалярной и полярной части бикватерниона, как в $X'$, так и в $X$.

И, если преобразование представимо при малом параметре $\alpha$ в виде произведения $$ \Delta X = A \alpha X $$ то матрица $A$ и есть в данном случае генератор группы для параметра буста, в данном случае для 4-векторов. Если исходить из полученного вектора $R$ то матрица $A$ должна образовываться как $$ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Это и есть генератор группы Лоренца для буста по оси X для преобразования 4-векторов.

Приведенный ход построения генератора использовал сильно упрощенные обозначения. Генераторы бустов по осям обозначают отлично от генераторов поворотов. Например, генераторы бустов символом $G$, а поворотов символом $J$.

Для построения генератора буста по оси Y построим соответствующее преобразование:

a:makemat(0,0,alpha/2,0,0,0,0,0);
x:makemat(x0,x1,x2,x3,0,0,0,0);
R:a.x+x.a;

И для генератора буста по оси Z:

a:makemat(0,0,0,alpha/2,0,0,0,0);
x:makemat(x0,x1,x2,x3,0,0,0,0);
R:a.x+x.a;

Генераторы бустов в матричном виде, соответственно, равны $$ G_x = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ $$ G_y = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ $$ G_z = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ При построении полуоператоров поворота аксиальные параметры в правом полуоператоре меняют знак, соответственно получение малого преобразования поворота по оси X выглядит как:

a:makemat(0,0,0,0,0,alpha/2,0,0);
x:makemat(x0,x1,x2,x3,0,0,0,0);
R:a.x-x.a;

Для поворота по оси Y:

a:makemat(0,0,0,0,0,0,alpha/2,0);
x:makemat(x0,x1,x2,x3,0,0,0,0);
R:a.x-x.a;

И по оси Z:

a:makemat(0,0,0,0,0,0,0,alpha/2);
x:makemat(x0,x1,x2,x3,0,0,0,0);
R:a.x-x.a;

Применяя те же рассуждения что и ранее для генераторов $G$, получим генераторы преобразований поворотов: $$ J_x= \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) $$ $$ J_y= \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ $$ J_z= \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$ Полученные инфинитезимальные генераторы группы используются для построения полного оператора преобразования при наличии параметров как матричная экспонента от выражения $$ G_x\psi_x+G_y\psi_y+G_z\psi_z+J_x\varphi_x+J_y\varphi_y+J_z\varphi_z $$ Для генераторов группы рассматриваются правила коммутирования, когда коммутатор задается как $$ [x,y]=xy-yx $$ Здесь слева - коммутатор двух элементов, справа - произведения согласно правилам используемой алгебры.

Непосредственной проверкой проверяется, что инфинитезимальные генераторы группы Лоренца коммутируют по следующим правилам: $$ [J_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}J_k $$ $$ [G_i,G_j]=-\varepsilon_{ijk}J_k $$ $$ [G_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}G_k $$ Здесь $\varepsilon_{ijk}$ - символ Леви-Чивита, равный 1 если тройка индексов $ijk$ правая, -1 если левая, и 0 если по меньшей мере два индекса повторяются.

Коммутирование генераторов группы Лоренца таково, что можно получить второй набор генераторов заменой знака у генераторов бустов $$ \begin{array}{c} G_i\rightarrow-G_i \\ J_i\rightarrow J_i \end{array} $$ и при такой замене правила коммутирования сохраняются: $$ [J_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}J_k $$ $$ [(-G_i),(-G_j)]=-\varepsilon_{ijk}J_k $$ $$ [(-G_i),J_j]=\varepsilon_{ijk}(-G_k) $$ Правила коммутирования инфинитезимальных генераторов аналогичны правилам произведения соответствующих мнимых единиц бикватернионов, если выполнить условную замену $$ \begin{array}{c} Ii \leftrightarrow G_x \\ Ij \leftrightarrow G_y \\ Ik \leftrightarrow G_z \\ i \leftrightarrow J_x \\ j \leftrightarrow J_y \\ k \leftrightarrow J_z \end{array} $$

Оператор группы Лоренца