Генераторы для спиноров

Оператор группы Лоренца

Для оперирования преобразованием спиноров при преобразованиях Лоренца используем традиционное для спиноров представление в виде матриц 2x2 с комплексными коэффициентами. Как было выяснено в исследовании гиперкомплексных спиноров, этому представлению соответствует симплектическое представление бикватернионов, также 2x2 с комплексными коэффициентами. $$ 1 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ Ii \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$ $$ Ij \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ -i & 0 \end{array} \right) $$ $$ Ik \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ \begin{equation} I \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & i \end{array} \right) \end{equation} $$ i \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right) $$ $$ j \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) $$ $$ k \Leftrightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ i & 0 \end{array} \right) $$ И потому, если есть бикватернион $$ x = x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7 $$ то его симплектическое матричное представление $2\times 2$ будет иметь вид: $$ \left( \begin{array}{cc} x_0-x_1+i(x_4+x_5) & -x_3+x_6+i(x_2+x_7) \\ -x_3-x_6+i(-x_2+x_7) & x_0+x_1+i(x_4-x_5) \end{array} \right) $$ Матричное представление $2\times 2$, использованное выше, не является единственным, и допускает циклическую перестановку матриц, представляющих мнимые единицы бикватернионов. Итого, может быть три различных представления. Ситуация аналогична тому, как сделать выбор чтобы три пространственные оси обозначить символами i, j и k.

Для оперирования аналитическими преобразованиями полуоператора переведем это определение в код функции на языке системы компьютерной алгебры Maxima.

smakemat(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7):=
(
matrix([x0-x1+%i*(x4+x5), -x3+x6+%i*(x2+x7)],
  [-x3-x6+%i*(-x2+x7), x0+x1+%i*(x4-x5)])
);

Для построения генераторов используем тот факт что преобразование спиноров производится умножением только одного полуоператора: $$ \xi+\Delta\xi=e^{\alpha/2}\xi $$ $$ \alpha=G_x\psi_x+G_y\psi_y+G_z\psi_z+ J_x\varphi_x+J_y\varphi_y+J_z\varphi_z $$ При равенстве нулю всех параметров кроме параметра при искомом генераторе, например, $\psi_x$, получаем $$ \xi+\Delta\xi\approx(1+\psi_x/2F_x)\xi $$ $$ \Delta\xi=\psi_x/2G_x\xi $$ То есть в случае спиноров матрица симплектического преобразования, образованная из параметра $\psi_x$, представляет сам генератор, поскольку берется производная по $\psi_x$. Итого, инфинитезимальные генераторы группы Лоренца для преобразования спиноров получаются как:

Gx:smakemat(0,1/2,0,0,0,0,0,0);
Gy:smakemat(0,0,1/2,0,0,0,0,0);
Gz:smakemat(0,0,0,1/2,0,0,0,0);
Jx:smakemat(0,0,0,0,0,1/2,0,0);
Jy:smakemat(0,0,0,0,0,0,1/2,0);
Jz:smakemat(0,0,0,0,0,0,0,1/2);

В матричном представлении $2\times 2$ они равны: $$ G_x = \left( \begin{array}{cc} -1/2 & 0\\ 0 & 1/2 \end{array} \right) $$ $$ G_y = \left( \begin{array}{cc} 0 & i/2\\ -i/2 & 0 \end{array} \right) $$ $$ G_z = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1/2\\ -1/2 & 0 \end{array} \right) $$ $$ J_x = \left( \begin{array}{cc} i/2 & 0\\ 0 & -i/2 \end{array} \right) $$ $$ J_y = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1/2\\ -1/2 & 0 \end{array} \right) $$ $$ J_z = \left( \begin{array}{cc} 0 & i/2\\ i/2 & 0 \end{array} \right) $$ Здесь в качестве мнимой единицы $i$ используется мнимая единица матричного представления, не кватернионная.

Непосредственной проверкой проверяется, что инфинитезимальные генераторы группы Лоренца для спиноров также, как для 4-векторов и бивекторов, коммутируют по следующим правилам: $$ [J_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}J_k $$ $$ [G_i,G_j]=-\varepsilon_{ijk}J_k $$ $$ [G_i,J_j]=\varepsilon_{ijk}G_k $$ Здесь $\varepsilon_{ijk}$ - символ Леви-Чивита, равный 1 если тройка индексов $ijk$ правая, -1 если левая, и 0 если по меньшей мере два индекса повторяются.

Оператор группы Лоренца