Для построения оператора группы Лоренца с 6 параметрами аналитически сведем ранее полученные результаты и применим к 4-векторам. Будем использовать в качестве параметров полный набор из 6 коэффициентов, 3 компоненты быстрота и 3 компоненты угла поворота.
Используя ранее опеределенные функции получения экспонент для левого и правого полуоператоров, построим их бикватернионные коэффициенты:
left:leftexp(psi[x]/2,psi[y]/2,psi[z]/2, phi[x]/2,phi[y]/2,phi[z]/2); right:rightexp(psi[x]/2,psi[y]/2,psi[z]/2, -phi[x]/2,-phi[y]/2,-phi[z]/2);Чтобы сократить выражения, в качестве промежуточных используем ранее построенные коэффициенты произведения трех бикватернионов и приведем к значениям $a$ и $b$ коэффициенты левого и правого полуоператоров:
a7:left[8];b7:right[8]; a6:left[7];b6:right[7]; a5:left[6];b5:right[6]; a4:left[5];b4:right[5]; a3:left[4];b3:right[4]; a2:left[3];b2:right[3]; a1:left[2];b1:right[2]; a0:left[1];b0:right[1];В начале программы Maxima вставим правила упрощения, которые помогут сократить выражения с использованием укороченных обозначений
tellsimpafter(
atan2(alpha[1],alpha[0])/2,
Theta);
tellsimpafter(
alpha[1]^2+alpha[0]^2,
alpha);
tellsimpafter(
cos(cos(Theta)*alpha^(1/4))^2*
sinh(sin(Theta)*alpha^(1/4))^2+
sin(cos(Theta)*alpha^(1/4))^2*
cosh(sin(Theta)*alpha^(1/4))^2,
sin(cos(Theta)*alpha^(1/4))^2+
sinh(sin(Theta)*alpha^(1/4))^2);
tellsimpafter(
4*sin(cos(Theta)*alpha^(1/4))^2*
sinh(sin(Theta)*alpha^(1/4))^2+
4*cos(cos(Theta)*alpha^(1/4))^2*
cosh(sin(Theta)*alpha^(1/4))^2,
4*(cos(cos(Theta)*alpha^(1/4))^2+
sinh(sin(Theta)*alpha^(1/4))^2));
Здесь используются вместе с введенным символом $\alpha$ замены:
$$
\begin{array}{c}
\alpha_0+i\alpha_1= \\
= x_5^2-x_1^2+x_6^2-x_2^2+x_7^2-x_3^2+ \\
+i(2x_1x_5+2x_2x_6+2x_3x_7) \\
\alpha=\alpha_0^2+\alpha_1^2 \\
\Theta=\mathrm{arctg}(\alpha_1/\alpha_0)/2
\end{array}
$$
Далее вычислим коэффициенты оператора для 4-векторов используя
тригонометрические упрощения, и в полученных выражениях будем учитывать
выполненные подстановки $\alpha$ и $\Theta$
A00:trigsimp(-a7*b7-a6*b6-a5*b5- a4*b4+a3*b3+a2*b2+a1*b1+a0*b0); A01:trigsimp(-a2*b7+a3*b6+a4*b5+a5*b4- a6*b3+a7*b2+a0*b1+a1*b0); A02:trigsimp(a1*b7+a4*b6-a3*b5+a6*b4+ a5*b3+a0*b2-a7*b1+a2*b0); A03:trigsimp(a4*b7-a1*b6+a2*b5+a7*b4+ a0*b3-a5*b2+a6*b1+a3*b0); A10:trigsimp(a2*b7-a3*b6+a4*b5+a5*b4+ a6*b3-a7*b2+a0*b1+a1*b0); A11:trigsimp(a7*b7+a6*b6-a5*b5-a4*b4- a3*b3-a2*b2+a1*b1+a0*b0); A12:trigsimp(a0*b7-a5*b6-a6*b5+a3*b4- a4*b3+a1*b2+a2*b1-a7*b0); A13:trigsimp(-a5*b7-a0*b6-a7*b5-a2*b4+ a1*b3+a4*b2+a3*b1+a6*b0); A20:trigsimp(-a1*b7+a4*b6+a3*b5+a6*b4- a5*b3+a0*b2+a7*b1+a2*b0); A21:trigsimp(-a0*b7-a5*b6-a6*b5-a3*b4+ a4*b3+a1*b2+a2*b1+a7*b0); A22:trigsimp(a7*b7-a6*b6+a5*b5-a4*b4- a3*b3+a2*b2-a1*b1+a0*b0); A23:trigsimp(-a6*b7-a7*b6+a0*b5+a1*b4+ a2*b3+a3*b2-a4*b1-a5*b0); A30:trigsimp(a4*b7+a1*b6-a2*b5+a7*b4+ a0*b3+a5*b2-a6*b1+a3*b0); A31:trigsimp(-a5*b7+a0*b6-a7*b5+a2*b4+ a1*b3-a4*b2+a3*b1-a6*b0); A32:trigsimp(-a6*b7-a7*b6-a0*b5-a1*b4+ a2*b3+a3*b2+a4*b1+a5*b0); A33:trigsimp(-a7*b7+a6*b6+a5*b5-a4*b4+ a3*b3-a2*b2-a1*b1+a0*b0);В итоге совместно с введенными обозначениями получаем коэффициенты матрицы оператора для 4-векторов: $$ \begin{array}{c} \alpha_0 = x_5^2-x_1^2+x_6^2-x_2^2+x_7^2-x_3^2 \\ \alpha_1 = 2x_1x_5+2x_2x_6+2x_3x_7 \\ \alpha=\alpha_0^2+\alpha_1^2 \\ \Theta=\mathrm{arctg}(\alpha_1/\alpha_0)/2 \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{00} = (\sqrt{\alpha}((\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+ \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_z^2+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_z^2+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_y^2+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_y^2+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_x^2+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_x^2)+ \\ + (4\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+ 4\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\alpha)/(4\alpha) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{01} = -(\alpha^{3/4}((\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_y\psi_z+ \\ + (\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})- \mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_y\varphi_z)+ \\ + (-2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_x+ \\ + (2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})) \alpha\varphi_x)/(2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{02} = (\alpha^{3/4}((\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_x\psi_z+ \\ + (\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})-\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_x\varphi_z)+ \\ + (2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_y+ \\ + (2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_y)/(2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{03} = -((-2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_z+ \\ + (2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4}))\alpha\varphi_z+ \\ + \alpha^{3/4}((\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+ \sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})^2)\varphi_x\psi_y+ \\ + (-\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})-\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_x\varphi_y))/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{10} = (\alpha^{3/4}((\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_y\psi_z+ \\ + (\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})-\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_y\varphi_z)+ \\ + (2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_x+ \\ + (2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_x)/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{11} = -(\sqrt{\alpha}((\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+ \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_z^2+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_z^2+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_y^2+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_y^2+ \\ + (-\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})-\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_x^2+ \\ + (-\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})-\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_x^2)+ \\ + (-4\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})-4\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha)/(4\alpha) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{12} = ((2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_z+ \\ + (-2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_z+ \\ + \alpha^{3/4}((\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta) \alpha^{1/4}))\psi_x\psi_y+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_x\varphi_y))/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{13} = (\alpha^{3/4}((\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_x\psi_z+(\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_x\varphi_z)+ (2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4}))\alpha\psi_y+ \\ + (2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_y)/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{20} = -(\alpha^{3/4}((\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_x\psi_z+(\cos^2(\cos(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - \mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_x\varphi_z)+ (-2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_y+ \\ + (2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4}))\alpha\varphi_y)/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{21} = ((2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4}))\alpha\psi_z+ \\ + (2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_z+ \\ + \alpha^{3/4}((\mathrm{sh}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})^2+\sin(\cos(\Theta) \alpha^{1/4})^2)\psi_x\psi_y+ \\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_x\varphi_y))/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{22} = -(\sqrt{\alpha}((\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+ \\ + \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_z^2+(\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_z^2+(-\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_y^2+(-\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_y^2+(\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_x^2+(\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_x^2)+(-4\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 4\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\alpha)/(4\alpha) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{23} = (\alpha^{3/4}((\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_y\psi_z+(\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_y\varphi_z)+ (2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_x+ \\ + (-2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_x)/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{30} = ((2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_z+ \\ + (2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_z+ \\ + \alpha^{3/4}((\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+ \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_x\psi_y+ \\ + (-\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})-\sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_x\varphi_y))/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{31} = (\alpha^{3/4}((\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_x\psi_z+(\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_x\varphi_z)+ (2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\psi_y+ \\ + (-2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_y)/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{32} = (\alpha^{3/4}((\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_y\psi_z+(\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})- \\ - \cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_y\varphi_z)+ \\ + (2\sin(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})- \\ - 2\cos(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4}))\alpha\psi_x+ \\ + (2\sin(\Theta)\mathrm{ch}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}(\sin(\Theta) \alpha^{1/4})+ \\ + 2\cos(\Theta)\cos(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\sin(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})) \alpha\varphi_x)/ (2\alpha^{5/4}) \end{array} $$ $$ \begin{array}{c} A_{33} = (\sqrt{\alpha}((\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+ \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\psi_z^2+\\ + (\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})+ \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4}))\varphi_z^2+ \\ (-\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_y^2+ \\ + (-\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_y^2+ \\ + (-\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})) \psi_x^2+ \\ + (-\cos^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{sh}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})- \sin^2(\cos(\Theta)\alpha^{1/4})\mathrm{ch}^2(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})) \varphi_x^2)+ \\ +(4\mathrm{sh}(\sin(\Theta)\alpha^{1/4})^2+4\cos^2(\cos(\Theta) \alpha^{1/4}))\alpha)/ (4\alpha) \end{array} $$ В некоторых выражениях дополнительно возможно небольшое упрощение с использованием тригонометрических формул двойного аргумента. Выражения были приведены в том виде, в каком их выдает система Maxima с указанными правилами упрощения.
Функция $\mathrm{arctg}(\alpha_1/\alpha_0)$ здесь указывается символически, по правилам математики. В реальных вычислениях, разумеется, она должна быть заменена на функцию $\mathrm{atan2}(\alpha_1,\alpha_0)$, которая корректно учитывает как квадранты так и возможный нулевой параметр $\alpha_0$.
При численной проверке для множества различных сочетаний параметров быстрот и углов приведенные формулы численно совпадают с результатом вычисления матричной экспоненты от соответствующих линейных комбинаций параметров с инфинитезимальными генераторами. Примерно такой громоздкий результат нужно ожидать от факторизации матричной экспоненты, если конечно это возможно выполнить.
Оператор группы Лоренца
Комментариев нет:
Отправить комментарий