Преобразование поворота

Рассмотрим, как преобразуется объект при преобраовании 3-мерного поворота: $$ x\rightarrow Tx\bar{T} $$ Случай, когда $x$ есть скаляр, тривиален: $$ x_0\rightarrow Tx_0\bar{T}=x_0 $$ Поэтому будем рассматривать вариант, когда $x$ - 3-мерный вектор. Пусть он задан кватернионом $$ x=ix_1+jx_2+kx_3 $$ и преобразование $T$ задано как экспонента угла поворота: $$ T=e^{\varphi}=t_0+t $$ $$ t_0=\cos\left(\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}\right) $$ $$ t=\frac{i\varphi_1+j\varphi_2+k\varphi_3} {\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}} \sin\left(\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}\right) $$ Дополнительно обозначив $$ t'=\frac{i\varphi_1+j\varphi_2+k\varphi_3} {\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}} $$ получим: $$ T=\cos\left(\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}\right)+ t'\sin\left(\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2}\right) $$ Здесь $t'$ - единичный вектор вдоль угла $\varphi$.

Векторные части кватернионов в произведениях участвуют как 3-мерные векторы: $$ ab=-(a,b)+[a,b] $$ Здесь слева кватернионное произведение, справа скалярное и векторное произведения 3-мерных векторов.

Теперь раскроем преобразование поворота: $$ \begin{array}{c} (t_0+t)(x)(t_0-t) = \\ = t_0^2x+t_0(x,t)-t_0[x,t]- \\ - t_0(t,x)+t_0[t,x]+t(x,t)+ \\ + (t,[x,t])-[t,[x,t]] \end{array} $$ Далее учтем, что векторное произведение имеет результат перпендикулярный к обоим аргументам, и поэтому $$ (t,[x,t])=0 $$ Также учтем, что $$ (x,t)=(t,x) $$ И раскроем двойное векторное произведение по правилу Лагранжа: $$ [a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b) $$ После раскрытия и сокращения подобных получаем: $$ t^2_0x-(t,t)x+2t_0[t,x]+2t(t,x) $$ Векторная часть $x$ может быть представлена суммой параллельного к $t$ вектора $x_{||}$ и перпендикулярного к нему $x_{\bot}$: $$ x=x_{||}+x_{\bot} $$ В силу линейности выражения преобразованя по вектору $x$ оно может быть представлено в виду суммы двух выражений, для параллельной и перпендикулярной части. Учтем, что скалярное произведение перпендикулярных векторов ноль и что векторное произведение параллельных векторов ноль, и тогда получим преобразование частей: $$ \begin{array}{c} (t_0^2-(t,t))x_{||}+2t(t,x_{||}) \\ (t_0^2-(t,t))x_{\bot}+2t_0[t,x_{\bot}] \end{array} $$ Скалярное произведение параллельных векторов раскрываем как: $$ 2\sin\varphi t'|t||x_{||}|= 2\sin\varphi\sin\varphi |x_{||}|t'=2\sin^2\varphi x_{||} $$ Тогда первое выражение превращается в: $$ (\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)x_{||}+2\sin^2\varphi x_{||}= (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)x_{||}=x_{||} $$ Таким образом, сонаправленная вектору поворота $t$ часть вектора $x$ не изменяется.

Во втором выражении, в преобразовании перпендикулярной части, раскроем векторное произведение: $$ 2t_0[t,x_{\bot}]=2\cos\varphi\sin\varphi[t',x_{\bot}] $$ Справа векторное произведение по величине равно: $$ |[t',x_{\bot}]|=|x_{\bot}| $$ И по направлению перпендикулярно и к $t'$ и к $x_{\bot}$. Таким образом, выражение $$ 2t_0[t,x_{\bot}]=2\cos\varphi\sin\varphi[t',x_{\bot}] $$ трансформируется в $$ \cos(2\varphi)x_{\bot}+\sin(2\varphi)x'_{\bot} $$ где $x'_{\bot}$ есть вектор по величине равный $|x_{\bot}|$ но лежащий в плоскости, перпендикулярной и к $x_{\bot}$ и к $t'$. Но это и есть преобразование поворота $x_{\bot}$ в нужной плоскости.

Таким образом, применение общего преобразования к вектору $x$: $$ Tx\bar{T} $$ где $T$ есть экспонента от аксиального вектора, есть вращение векторной части $x$ вокруг направления векторной части $T$. Здесь $T$ задает в экспоненте половинный угол поворота на угол $\alpha$: $$ T=e^{\alpha/2} $$ $$ \alpha=i\alpha_5+j\alpha_6+k\alpha_7 $$ Вращение кватернионным полуоператором, видимо, это одно из наиболее известных применений кватернионов.

Оглавление
Композиционные преобразования