Рассмотрим, как преобразуется объект при преобраовании 3-мерного поворота:
x→TxˉT
Случай, когда x есть скаляр, тривиален:
x0→Tx0ˉT=x0
Поэтому будем рассматривать вариант, когда x - 3-мерный вектор. Пусть он задан
кватернионом
x=ix1+jx2+kx3
и преобразование T задано как экспонента угла поворота:
T=eφ=t0+t
t0=cos(√φ21+φ22+φ23)
t=iφ1+jφ2+kφ3√φ21+φ22+φ23sin(√φ21+φ22+φ23)
Дополнительно обозначив
t′=iφ1+jφ2+kφ3√φ21+φ22+φ23
получим:
T=cos(√φ21+φ22+φ23)+t′sin(√φ21+φ22+φ23)
Здесь t′ - единичный вектор вдоль угла φ.
Векторные части кватернионов в произведениях участвуют как 3-мерные векторы:
ab=−(a,b)+[a,b]
Здесь слева кватернионное произведение, справа скалярное и векторное
произведения 3-мерных векторов.
Теперь раскроем преобразование поворота:
(t0+t)(x)(t0−t)==t20x+t0(x,t)−t0[x,t]−−t0(t,x)+t0[t,x]+t(x,t)++(t,[x,t])−[t,[x,t]]
Далее учтем, что векторное произведение имеет результат перпендикулярный к обоим
аргументам, и поэтому
(t,[x,t])=0
Также учтем, что
(x,t)=(t,x)
И раскроем двойное векторное произведение по правилу Лагранжа:
[a,[b,c]]=b(a,c)−c(a,b)
После раскрытия и сокращения подобных получаем:
t20x−(t,t)x+2t0[t,x]+2t(t,x)
Векторная часть x может быть представлена суммой параллельного к t вектора
x|| и перпендикулярного к нему x⊥:
x=x||+x⊥
В силу линейности выражения преобразованя по вектору x оно может быть
представлено в виду суммы двух выражений, для параллельной и перпендикулярной
части. Учтем, что скалярное произведение перпендикулярных векторов ноль и что
векторное произведение параллельных векторов ноль, и тогда получим
преобразование частей:
(t20−(t,t))x||+2t(t,x||)(t20−(t,t))x⊥+2t0[t,x⊥]
Скалярное произведение параллельных векторов раскрываем как:
2sinφt′|t||x|||=2sinφsinφ|x|||t′=2sin2φx||
Тогда первое выражение превращается в:
(cos2φ−sin2φ)x||+2sin2φx||=(cos2φ+sin2φ)x||=x||
Таким образом, сонаправленная вектору поворота t часть вектора x не
изменяется.
Во втором выражении, в преобразовании перпендикулярной части, раскроем векторное
произведение:
2t0[t,x⊥]=2cosφsinφ[t′,x⊥]
Справа векторное произведение по величине равно:
|[t′,x⊥]|=|x⊥|
И по направлению перпендикулярно и к t′ и к x⊥. Таким образом,
выражение
2t0[t,x⊥]=2cosφsinφ[t′,x⊥]
трансформируется в
cos(2φ)x⊥+sin(2φ)x′⊥
где x′⊥ есть вектор по величине равный |x⊥| но лежащий
в плоскости, перпендикулярной и к x⊥ и к t′. Но это и есть
преобразование поворота x⊥ в нужной плоскости.
Таким образом, применение общего преобразования к вектору x:
TxˉT
где T есть экспонента от аксиального вектора, есть вращение
векторной части x вокруг направления векторной части T. Здесь T задает в
экспоненте половинный угол поворота на угол α:
T=eα/2
α=iα5+jα6+kα7
Вращение кватернионным полуоператором, видимо, это одно из наиболее известных
применений кватернионов.
Оглавление
Композиционные преобразования
Комментариев нет:
Отправить комментарий