Преобразование взаимных отношений векторов

Взаимным отношением векторов называется оператор, переводящий один из векторов в другой. Таких отношений два: $$\begin{array}{c} x\bar{y} \\ \bar{y}x \end{array}$$ Это оператор, переводящий $y$ в $x$: $$\begin{array}{c} x\bar{y}y=x \\ y\bar{y}x = x \end{array}$$ Отметим, что речь в данном случае не о преобразовании Лоренца.

В случае если используется коммутативная алгебра и алгебраическое сопряжение в ней линейно, то оба эти отношения совпадают. Таже совпадают скалярные части этих отношений для некоммутативных алгебр если в них алгебраическое сопряжение линейно.

Скалярная часть взаимного отношения есть скалярное и псевдоскалярное произведение операндов, а векторная часть - векторное произведение.

В целом, части взаимного отношения характеризуют взаимное расположение, или относительное расположение операндов. Если сами значения $x$ и $y$ есть абсолютные значения, то $x\bar{y}$ или $\bar{x}y$ есть относительная величина. И, вообще говоря, она преобразуется иначе, чем векторы, а именно: $$x\bar{y}\rightarrow Tx\bar{T}^*T^*\bar{y}\bar{T}$$ Здесь два вектора $x$ и $y$ преобразуются преобразованиями Лоренца $$\begin{array}{c} x\rightarrow Tx\bar{T}^* \\ \bar{y}\rightarrow T^*\bar{y}\bar{T} \end{array}$$ Поскольку $$\bar{T}^*T^*=|T^*|^2=1$$ то взаимное отношение преобразуется композиционно: $$x\bar{y}\rightarrow Tx\bar{y}\bar{T}$$ с тем же полуоператором что в преобразовании Лоренца.

В силу свойств композиционного преобразования скалярная часть взаимного отношения не изменяется, причем здесь в скалярную часть входит истинный скаляр и псевдоскаляр.

Векторная же часть и изменяет величину в направлениях полярной и аксиальной составляющих и также они могут использовать вращение в зависимости от значения $T$.

Если первая форма взаимного отношения преобразуется как $$x\bar{y}\rightarrow Tx\bar{y}\bar{T}$$ то вторая форма преобразуется скалярно-сопряженным полуоператором: $$\bar{y}x\rightarrow\overline{Ty\bar{T}^*}Tx\bar{T}^*= T^*\bar{y}x\bar{T}^*$$ Эти формы отличаются стороной применения к исходному вектору $y$ для получения целевого вектора $x$.

Конечно, нужно сделать уточнение что в приведенных полуоператорах не учитываются абсолютные значения $|x|$ и $|y|$. И в действительности должны использоваться значения $y^{-1}$ вместо $y$.

Оглавление
Композиционные преобразования