О разложимости полуоператора

Полуоператор преобразования Лоренца может быть разложен на произведение двух, представляющих по отдельности преобразование 3-мерного поворота и движения (буста).

Полуоператор 3-мерного поворота представляется экспонентой от чисто аксиальной части: $$\begin{array}{c} e^{\varphi} \\ \varphi = i\varphi_5+j\varphi_6+k\varphi_7 \end{array}$$ Здесь $\varphi$ (для краткости) это половинный угол поворота.

Полуоператор движения, или буста, представляется экспонентой от чисто полярной части: $$\begin{array}{c} e^{\psi} \\ \psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3 \end{array}$$ Здесь $\psi$ (также для краткости) это половинная быстрота Лоренцевского буста и, будучи умноженной на 2, дает саму быстроту: $$\mathrm{th}(2\psi)=v/c$$ Положим, что у нас есть значение полуоператора преобразования Лоренца, содержащего и буст и поворот одновременно. Такие преобразования еще называют общими преобразованиями Лоренца и они были выделены чтобы получить группу по умножению, поскольку собственно преобразования буста группу не образуют. Задача состоит в том, чтобы найти его эквивалент в виде произведения отдельных преобразований.

Положжим, что полуоператор $T$ надо представить в виде произведения $$T=e^{\varphi}e^{\psi}$$ Используем векторное сопряжение $\bar{T}$, меняющее знак у компонент в образовании которых участвовали векторные мнимые единицы $i$, $j$, $k$: $$\widetilde{T}=e^{-\psi}e^{-\varphi}$$ Векторное сопряжение линейно в отличие от алгебраического и может быть легко применимо к любому бикватерниону.

После этого применим скалярное сопряжение (обозначено звездочкой). Скалярное сопряжение меняет знак у комонент, в образовании которых участвовала мнимая единица $I$. Это сопряжение также линейно. $$\widetilde{T}^*=e^{\psi}e^{-\varphi}$$ После чего умножим результат на исходное значение: $$\widetilde{T}^*T=e^{\psi}e^{-\varphi}e^{\varphi}e^{\psi}=e^{2\psi}$$ Полученный результат есть экспонента вида: $$\begin{array}{c} e^{2\psi}=\mathrm{ch}\left(2\sqrt{\psi_1^2+\psi_2^2+\psi_3^2}\right)+ \\ + \dfrac{Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3}{\sqrt{\psi_1^2+\psi_2^2+\psi_3^2}} \mathrm{sh}\left(2\sqrt{\psi_1^2+\psi_2^2+\psi_3^2}\right) \end{array}$$ По значению действительной части можно вычислить значение корня и далее можно вычислить каждую из компонент $\psi_i$.

После этого можно определить полуоператор буста от половинного значения быстроты и найти оставшуюся часть $e^{\varphi}$.

То есть полуоператор преобразования Лоренца, заданный в общем виде, разложим на произведение двух отдельных, поворота и буста.

В приведенном выводе было предположено, что ищется разложение в виде буста (в произведении стоит справа), к которому применяется полуоператор поворота (в произведении слева). Несложно убедиться, что один и тот же полуоператор может быть представлен и в обратном порядке. Если полагать что $$T=e^{\varphi_a}e^{\psi_a}$$ то $$\widetilde{T}^*T=e^{2\psi_a}$$ И если полагать, что $$T=e^{\psi_b}e^{\varphi_b}$$ то $$T\widetilde{T}^*=e^{2\psi_b}$$ Несложно видеть, что $$\varphi_a=\varphi_b$$ и что $$\psi_a=e^{\varphi_a}\psi_be^{-\varphi_a}$$ То есть полуоператоры поворотов обоих разложений равны, а векторы бустов $\psi_a$ и $\psi_b$ повернуты друг относительно друга.

Оглавление
Композиционные преобразования