От преобразования Лоренца к композиционному

Векторы 4-мерного пространства-времени преобразуются согласно преобразованиям Лоренца. И между преобразованиями Лоренца и композиционными преобразованиями существует прямая связь.

Преобразования Лоренца описываются группой преобразований вида $$x\rightarrow e^{\varphi/2+\psi/2}x e^{-\varphi/2+\psi/2}$$ где $\varphi$ - угол 3-мерного поворота, а $\psi$ - гиперболический угол быстроты, и они задаются в бикватернионах. В других местах обозначение $\psi$ используется для обозначения самого оператора (сокращая запись экспоненты), но здесь как параметр оператора, указанный явно.

Вектор $x$ задается сокращенным бикватернионом: $$x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3$$ здесь $x_0$ - скалярная или временная составляющая, а $$Iix_1+Ijx_2+Ikx_3$$

это полярный вектор.

Параметры преобразования: $$\varphi=i\varphi_5+j\varphi_6+k\varphi_7$$ представляют аксиальный вектор, он задает общеизвестный 3-мерный вектор угла поворота.

Вектор: $$\psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3$$ представляет полярный 3-мерный вектор, он задает гиперболический угол быстроты: $$\mathrm{th}\psi=v/c$$ Направление вектора $\psi$ задает направление линейной скорости преобразования Лоренца. Сами значения бикватернионных операторов $$\begin{array}{c} e^{\varphi/2+\psi/2} \\ e^{-\varphi/2+\psi/2} \end{array}$$ представляют собой полуоператоры преобразования Лоренца: $$\begin{array}{c} e^{\varphi/2+\psi/2} = T\\ e^{-\varphi/2+\psi/2} = \bar{T}^* \end{array}$$ Здесь $\bar{T}$ - алгебраическое сопряжение $$T\bar{T}=|T|^2$$ и $T^*$ - скалярное сопряжение, при котором меняют знак компоненты, в образовании которых участвует единица $I$.

Таким образом, преобразование Лоренца выражается через взаимно-сопряженные полуоператоры: $$x\rightarrow Tx\bar{T}^*$$ Соответственно, если есть объекты, которые при преобразовании векторов пространства-времени преобразованием Лоренца также преобразуются преобразованием Лоренца, то они также образуют истинные 4-мерные векторы.

Но, кроме них, существуют и другие многомерные объекты, также выразимые бикватернионами, но преобразующиеся не преобразованием Лоренца, а композиционным преобразованием. Поэтому они не образуют истинные 4-мерные векторы. Например, сам угол поворота, быстрота, или напряженности электромагнитного поля. Мы привыкли называть их векторами, но это не 4-мерные векторы.

Оглавление
Композиционные преобразования