Свойства композиционных преобразований

Свое название композиционные преобразования получили для того, чтобы их отличать от других и по тому их свойству, что композиция композиционных преобразований есть композиционное преобразование композиции. Композиционным называется такое преобразование $\psi$, что будучи примененным к аргументу преобразования дает результат: $$ x\rightarrow\psi x\bar{\psi} $$ Здесь ключевым свойством полуоператора преобразования $\psi$ является $$ |\psi|=1 $$ В преобразовании выше использовалось алгебраическое сопряжение: $$ \psi\bar{\psi}=\bar{\psi}\psi=|\psi| $$ В иных случаях, когда это может оказаться более наглядным для решения задач, может быть использована замена: $$ x\rightarrow\psi x \psi^{-1} $$ И в этом случае требование $|\psi|=1$ может быть опущено.

Но поскольку мы будем оперировать априори некоммутативными объектами, оставим первоначальное сопряжение вместо необходимости вычисления обратного и умножения на обратное, поскольку для них требуется уточнять чем является $a/b$, который из вариантов: $$ \begin{array}{c} b^{-1}a \\ ab^{-1} \end{array} $$ Из требования $|\psi|=1$ вытекает, что в качестве таковых преобразований не рассматриваются (по меньшей мере пока) полуоператоры, представимые делителями нуля, например как в случае с движением света.

Рассмотрим как композиционное преобразование преобразует отдельные случаи операций с аргументами.

Если $C$ является скаляром, то он умножается коммутативно на любое число алгебры. В качестве основной алгебры, которая нас интересует, выступает алгебра бикватернионов. В ней скалярная величина состоит из двух компонент - настоящего скаляра $C_0$ и псевдоскаляра $C_4$: $$ C=C_0+IC_4 $$ Поскольку $C$ умножается коммутативно, то $$ C\rightarrow \psi C\bar{\psi}=C\psi\bar{\psi}=C $$ Таким образом, композиционное преобразование оставляет скалярные части операндов неизменными. Из этого следует, что если операнд был чисто векторным (состоя из полярной и аксиальной частей) то и после применения композиционного преобразования он останется чисто векторным, с по-прежнему нулевой скалярной частью.

Сумма преобразуемых величин преобразуется в одно действие. А именно, если объекты $a$ и $b$ каждый преобразуется через: $$ \begin{array}{c} a\rightarrow \psi a \bar{\psi} \\ b\rightarrow \psi b \bar{\psi} \end{array} $$ то их сумма преобразуется как $$ a+b\rightarrow\psi a\bar{\psi}+\psi b\bar{\psi}= \psi (a+b)\bar{\psi} $$ Произведение преобразуется в два действия: $$ ab\rightarrow\psi a\bar{\psi}\psi b\bar{\psi}= \psi ab\bar{\psi} $$ в силу того, что $$ \bar{\psi}\psi=1 $$ Обратное преобразуется последовательным применением степени -1: $$ a^{-1}\rightarrow(\psi a \bar{\psi})^{-1}= \bar{\psi}^{-1}a^{-1}\psi^{-1} $$ Поскольку $|\psi|=1$, то $$ \begin{array}{c} \psi^{-1}=\bar{\psi} \\ \bar{\psi}^{-1}=\psi \end{array} $$ Соответственно, в результате получаем $$ a^{-1}\rightarrow\psi a^{-1}\bar{\psi} $$ И для деления получаем соотношение: $$ ab^{-1}\rightarrow \psi a \bar{\psi}\psi b^{-1}\bar{\psi}= \psi ab^{-1}\bar{\psi} $$ Для получения правила преобразования алгебраически сопряженного используем свойство алгебраического сопряжения: $$ \overline{xy}=\bar{y}\,\bar{x} $$ И применим его: $$ \bar{a}\rightarrow\overline{\psi a\bar{\psi}}= \bar{\bar{\psi}}\,\bar{a}\,\bar{\psi} $$ В силу того, что $\bar{\bar{\psi}}=\psi$, имеем: $$ \bar{a}\rightarrow\psi\,\bar{a}\,\bar{\psi} $$ Положим, что у нас есть функция, разложимая в ряд и, следовательно, обрауемая совокупностью сложений и произведений: $$ f(x)=\sum\limits_ic_ix^i $$ Если аргумент функции преобразуется композиционным преобразованием, то $$ \begin{array}{c} x\rightarrow\psi x\bar{\psi} \\ x^i\rightarrow\psi x^i\bar{\psi} \\ \end{array} $$ Поскольку $c_i$ - скалярные коэффициенты, то $$ \sum\limits_ic_ix^i\rightarrow\sum\limits_i\psi c_ix^i\bar{\psi}= \psi\sum\limits_ic_ix^i\bar{\psi} $$ То есть значение функции аргумента, преобразуемого композиционным преобразованием, также преобразуется композиционным преобразованием.

Полученный набор правил приводит к выводу, что если есть композиция величин, преобразуемых композиционно, и композиция использует скалярные константы, сложения, умножения, деления, алгебраическое сопряжение и функции, разложимые в ряд, то результат такой композиции преобразуется так же композиционно. То есть такие математические выражения при композиционных преобразованиях не меняют своей математической формы.

Еще раз уточним, что к виду самого преобразования $\psi$ не предъявляется иных требований кроме ассоциативности и существования обратного. Хотя полученные результаты могут быть в большинстве случаев отнесены к произвольным ассоциативным алгебрам, нас будут интересовать в основном бикватернионы Гамильтона, поскольку именно в них выражаются преобразования Лоренца.

Оглавление
Композиционные преобразования