Свойства композиционных преобразований

Свое название композиционные преобразования получили для того, чтобы их отличать от других и по тому их свойству, что композиция композиционных преобразований есть композиционное преобразование композиции. Композиционным называется такое преобразование $\psi$, что будучи примененным к аргументу преобразования дает результат: $$x\rightarrow\psi x\bar{\psi}$$ Здесь ключевым свойством полуоператора преобразования $\psi$ является $$|\psi|=1$$ В преобразовании выше использовалось алгебраическое сопряжение: $$\psi\bar{\psi}=\bar{\psi}\psi=|\psi|$$ В иных случаях, когда это может оказаться более наглядным для решения задач, может быть использована замена: $$x\rightarrow\psi x \psi^{-1}$$ И в этом случае требование $|\psi|=1$ может быть опущено.

Но поскольку мы будем оперировать априори некоммутативными объектами, оставим первоначальное сопряжение вместо необходимости вычисления обратного и умножения на обратное, поскольку для них требуется уточнять чем является $a/b$, который из вариантов: $$\begin{array}{c} b^{-1}a \\ ab^{-1} \end{array}$$ Из требования $|\psi|=1$ вытекает, что в качестве таковых преобразований не рассматриваются (по меньшей мере пока) полуоператоры, представимые делителями нуля, например как в случае с движением света.

Рассмотрим как композиционное преобразование преобразует отдельные случаи операций с аргументами.

Если $C$ является скаляром, то он умножается коммутативно на любое число алгебры. В качестве основной алгебры, которая нас интересует, выступает алгебра бикватернионов. В ней скалярная величина состоит из двух компонент - настоящего скаляра $C_0$ и псевдоскаляра $C_4$: $$C=C_0+IC_4$$ Поскольку $C$ умножается коммутативно, то $$C\rightarrow \psi C\bar{\psi}=C\psi\bar{\psi}=C$$ Таким образом, композиционное преобразование оставляет скалярные части операндов неизменными. Из этого следует, что если операнд был чисто векторным (состоя из полярной и аксиальной частей) то и после применения композиционного преобразования он останется чисто векторным, с по-прежнему нулевой скалярной частью.

Сумма преобразуемых величин преобразуется в одно действие. А именно, если объекты $a$ и $b$ каждый преобразуется через: $$\begin{array}{c} a\rightarrow \psi a \bar{\psi} \\ b\rightarrow \psi b \bar{\psi} \end{array}$$ то их сумма преобразуется как $$a+b\rightarrow\psi a\bar{\psi}+\psi b\bar{\psi}= \psi (a+b)\bar{\psi}$$ Произведение преобразуется в два действия: $$ab\rightarrow\psi a\bar{\psi}\psi b\bar{\psi}= \psi ab\bar{\psi}$$ в силу того, что $$\bar{\psi}\psi=1$$ Обратное преобразуется последовательным применением степени -1: $$a^{-1}\rightarrow(\psi a \bar{\psi})^{-1}= \bar{\psi}^{-1}a^{-1}\psi^{-1}$$ Поскольку $|\psi|=1$, то $$\begin{array}{c} \psi^{-1}=\bar{\psi} \\ \bar{\psi}^{-1}=\psi \end{array}$$ Соответственно, в результате получаем $$a^{-1}\rightarrow\psi a^{-1}\bar{\psi}$$ И для деления получаем соотношение: $$ab^{-1}\rightarrow \psi a \bar{\psi}\psi b^{-1}\bar{\psi}= \psi ab^{-1}\bar{\psi}$$ Для получения правила преобразования алгебраически сопряженного используем свойство алгебраического сопряжения: $$\overline{xy}=\bar{y}\,\bar{x}$$ И применим его: $$\bar{a}\rightarrow\overline{\psi a\bar{\psi}}= \bar{\bar{\psi}}\,\bar{a}\,\bar{\psi}$$ В силу того, что $\bar{\bar{\psi}}=\psi$, имеем: $$\bar{a}\rightarrow\psi\,\bar{a}\,\bar{\psi}$$ Положим, что у нас есть функция, разложимая в ряд и, следовательно, обрауемая совокупностью сложений и произведений: $$f(x)=\sum\limits_ic_ix^i$$ Если аргумент функции преобразуется композиционным преобразованием, то $$\begin{array}{c} x\rightarrow\psi x\bar{\psi} \\ x^i\rightarrow\psi x^i\bar{\psi} \\ \end{array}$$ Поскольку $c_i$ - скалярные коэффициенты, то $$\sum\limits_ic_ix^i\rightarrow\sum\limits_i\psi c_ix^i\bar{\psi}= \psi\sum\limits_ic_ix^i\bar{\psi}$$ То есть значение функции аргумента, преобразуемого композиционным преобразованием, также преобразуется композиционным преобразованием.

Полученный набор правил приводит к выводу, что если есть композиция величин, преобразуемых композиционно, и композиция использует скалярные константы, сложения, умножения, деления, алгебраическое сопряжение и функции, разложимые в ряд, то результат такой композиции преобразуется так же композиционно. То есть такие математические выражения при композиционных преобразованиях не меняют своей математической формы.

Еще раз уточним, что к виду самого преобразования $\psi$ не предъявляется иных требований кроме ассоциативности и существования обратного. Хотя полученные результаты могут быть в большинстве случаев отнесены к произвольным ассоциативным алгебрам, нас будут интересовать в основном бикватернионы Гамильтона, поскольку именно в них выражаются преобразования Лоренца.

Оглавление
Композиционные преобразования