Линейные операторы композиционного преобразования

Композиционные преобразования, как было выяснено, являются линейными выражениями по преобразуемому объекту, по его компонентам. Это преобразования поворота и композиционное изображение буста.

Как было выявлено ранее, композиционные преобразования не затрагивают, то есть не изменяют, как скалярную так и псевдоскалярную части бикватерниона - аргумента. Поэтому при построении матрицы соответствующего линейного преобразования у нее можно как вписывать единицы в дополнительные элементы на главной диагонали, так и опускать их, лишь подразумевая единицы на диагонали неявно.

Для получения линейных операторов композиционных преобразований учтем, что общее композиционное преобразование может быть разложено на произведение двух - поворота и изображения буста. Поэтому для упрощения рассмотрим их отдельно.

3-мерный поворот вращает и полярный и аксиальный векторы одинаково. Поэтому достаточно рассмотреть поворот лишь, к примеру, аксиального вектора. Для получения полного линейного оператора полученную матрицу надо продублировать по диагонали и для полярной части аргумента и дополнить при необходимости единицами на главной диагонали для скалярной и псевдоскалярной частей.

Возьмем полученный ранее результат преобразования поворота $$t_0^2x-(t,t)x+2t_0[t,x]+2t(t,x)$$ Исходный полуоператор поворота представляет собой экспоненту половинного угла: $$\begin{array}{c} t_0=\cos\varphi_m \\ t=t'\sin\varphi_m \\ % t'=\dfrac{i\varphi_1+j\varphi_2+k\varphi_3}{\varphi_m} \\ t'=(i\varphi_1+j\varphi_2+k\varphi_3)/\varphi_m \\ \varphi_m=\sqrt{\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2} \end{array}$$ Здесь $2\varphi_m$ - величина угла поворота, $t'$ - единичный направляющий вектор.

Выражение из первого и второго слагаемых $$t_0^2x-(t,t)x$$ трансформируется в $$(\cos^2\varphi_m-\sin^2\varphi_m)x$$ Что по правилам тригонометрии равно $$x\cos(2\varphi_m)$$ Поскольку исходный параметр $\varphi_m$ означал половинный угол, здась мы получили косинус полного угла поворота.

Третье слагаемое $$2t_0[t,x]$$ трансформируется в $$2\cos\varphi_m\sin\varphi_m[r',x]$$ Что по правилам тригонометрии равно $$\sin(2\varphi_m)[t',x]$$ И четвертое слагаемое трансформируется в $$\begin{array}{c} 2t(t,x)=2\sin^2\varphi_mt'(t',x)= \\ =(1-\cos(2\varphi_m))t'(t',x) \end{array}$$ Здесь также выражение приведено к полному углу поворота.

Итого, первый элемент приводит к слагаемому в итоговый линейный оператор: $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \cos(2\varphi_m) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$$ Следующий элемент с векторным произведением добавляет в линейный оператор слагаемое: $$\left( \begin{array}{ccc} 0 & -\varphi_2 & \varphi_2 \\ \varphi_3 & 0 & -\varphi_1 \\ -\varphi_2 & \varphi_1 & 0 \end{array} \right) \frac{\sin(2\varphi_m)}{\varphi_m} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$$ Здесь в знаменатель входит величина $\varphi_m$. В случае если она равна нулю весь линейный оператор равен единичной матрице.

И наконец последнее слагаемое в линейный оператор выглядит как тензорное произведение векторов: $$\left( \begin{array}{ccc} \varphi_1\varphi_1 & \varphi_1\varphi_2 & \varphi_1\varphi_3 \\ \varphi_2\varphi_1 & \varphi_2\varphi_2 & \varphi_2\varphi_3 \\ \varphi_3\varphi_1 & \varphi_3\varphi_2 & \varphi_3\varphi_3 \end{array} \right) \frac{1-\cos(2\varphi_m)}{\varphi_m^2} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)$$ В образовании этого слагаемого основная часть, матрица, происходит на самом деле не из тензорного произведения, а из произведения векторов: $$t'(t',x)$$ Вышеприведенные формулы от исходного половинного угла поворота $\varphi$ были приведены где возможно к формулам от полного угла $2\varphi_m$.

Для получения линейного оператора преобразования, являющегося композиционным изображением буста, возьмем полученное ранее преобразование: $$t_0^2x+(t,t)x+2It_0[t,x]-2t(t,x)$$ Здесь мы не можем продублировать линейный оператор как для полярной, так и для аксиальной частей $x$, поскольку они преобразуются по-разному. Поэтому в качестве аргумента линейного оператора возьмем векторную часть бикватерниона $$Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+ix_5+jx_6+kx_7$$ Здесь первые 3 слагаемых полярная часть, а следующие 3 слагаемых аксиальная. И в качестве вектор-столбца расположим их: $$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end{array} \right)$$ И для получения линейного оператора композиционного изображения буста будем строить матрицу $6\times 6$.

При необзходимости дополнить аргумент скалярной и псевдоскалярной составляющими мы соответственно должны будем разместить на главной диагонали в добавленных строках и столбцах единицы, поскольку эти части аргумента оператоора не изменяются.

Будем учитывать что в полуоператоре буста использовалась половинная быстрота и обозначим для краткости: $$t_0=\mathrm{ch}\psi_m$$ $$\psi_m=\sqrt{\psi_5+\psi_6+\psi_7}$$ $$t'=\frac{i\psi_5+j\psi_6+k\psi_7}{\psi_m}$$ $$t=t'\mathrm{sh}\psi_m$$ Раскрываем выражение преобразования аналогично преобразованию поворота. Первые два слагаемые равны: $$t_0^2x+(t,t)x=(\mathrm{ch}^2\psi_m+\mathrm{sh}^2\psi_m)x$$ Что по правилам преобразования гиперболических функций равно: $$\mathrm{ch}(2\psi_m)x$$ Это дает вклад в линейный оператор: $$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \mathrm{ch}(2\psi_m) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end{array} \right)$$ Третье слагаемое $$2It_0[t,x]$$ после подстановки гиперболических функций превращается в $$I2\mathrm{ch}\psi_m\mathrm{sh}\psi_m[t',x]$$ По правилам преобразования гиперболических функций получим: $$I\mathrm{sh}(2\psi_m)[t',x]$$ В выражение $x$ входит два слагаемых: $$\begin{array}{c} x=I(ix_1+jx_2+kx_3)+ \\ +(ix_5+jx_6+kx_7) = \\ = Ip+a \end{array}$$ Векторное произведение с первой частью дает результат: $$I\mathrm{sh}(2\psi_m)[t',Ip]=-\mathrm{sh}(2\psi_m)[t',p]$$ И, хотя воздействовали на полярный вектор, результат идет в слагаемое в аксиальную часть, поскольку не содержит мнимой единицы $I$ и образовано лишь из аксиальных векторов.

Векторное произведение с аксиальной частью дает результат: $$I\mathrm{sh}(2\psi_m)[t',a]$$ Поскольку это выражение содержит единицу $I$, умноженную на аксиальный вектор, результат идет в полярную часть. Скомбинировав все вместе, получим слагаемое в линейный оператор: $$\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & -\psi_3 & \psi_2 \\ 0 & 0 & 0 & \psi_3 & 0 & -\psi_1 \\ 0 & 0 & 0 & -\psi_2 & \psi_1 & 0 \\ 0 & \psi_3 & -\psi_2 & 0 & 0 & 0 \\ -\psi_3 & 0 & \psi_1 & 0 & 0 & 0 \\ \psi_2 & -\psi_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \frac{\mathrm{sh}(2\psi_m)}{\psi_m} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end{array} \right)$$ И наконец оставшееся слагаемое: $$-2t(t,x)=-2\mathrm{sh}^2\psi_mt'(t',x)$$ По правилам преобразований гиперболических функций $$-2\mathrm{sh}^2\psi_m=\mathrm{ch}(2\psi_m)-1$$ И поэтому линейный оператор получает слагаемое: $$\left( \begin{array}{cccccc} \psi_1\psi_1 & \psi_1\psi_2 & \psi_1\psi_3 & 0 & 0 & 0 \\ \psi_2\psi_1 & \psi_2\psi_2 & \psi_2\psi_3 & 0 & 0 & 0 \\ \psi_3\psi_1 & \psi_3\psi_2 & \psi_3\psi_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \psi_1\psi_1 & \psi_1\psi_2 & \psi_1\psi_3 \\ 0 & 0 & 0 & \psi_2\psi_1 & \psi_2\psi_2 & \psi_2\psi_3 \\ 0 & 0 & 0 & \psi_3\psi_1 & \psi_3\psi_2 & \psi_3\psi_3 \end{array} \right) \frac{\mathrm{ch}(2\psi_m)-1}{\psi_m^2} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end{array} \right)$$ Здесь также, как и для преобразования поворота, элементы, выглядящие как тензорное произведение вектора $\psi$ на самого себя, в действительности имеют происхождение не в тензорном произведении векторов, а в произведении $$t'(t',x)$$ Соответственно, итоговый линейный оператор композиционного изображения преобразования буста из преобразований Лоренца представляет сумму полученных выше трех составляющих. И, при необходимости дополнить бикватернион $x$ скалярной и псевдоскалярной составляющими матрица оператора расширяется нулевыми строками и столбцами с единицами на главной диагонали в силу неизвеняемости скалярной и псевдоскалярной частей композиционными преобразованиями.

В приведенном выводе оператора композиционного изображения буста были использованы параметры заданные в быстроте $\psi$. В работах по СТО чаще используется описание в параметрах, заданных в скорости $v$, где $v$ - скорость изменения пространственной координаты (это, как и быстрота $\psi$, вектор) при изменении координаты $t$ при гиперболическом повороте преобразования Лоренца. Если быстрота $\psi$ не ограничена по значению, то скорость $v$ ограничена величиной $c$, поскольку отношение $v/c$ есть гиперболический тангенс быстроты, а у него асимптота равна единице.

Для построения оператора преобразования в единицах $v$ построим соответствие быстроты и скорости. Исходный полуоператор с полярной векторной частью $$\mathrm{ch}(2\psi) + \frac{\psi}{\psi_m}\mathrm{sh}(2\psi_m)$$ соответствует величине $$\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+\frac{v}{c}\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Действительной части соответствует: $$\mathrm{ch}(2\psi)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Единичному направляющему вектору $\psi/\psi_m$ соответствует единичный вектор $$\frac{\psi}{\psi_m}=\frac{v}{v_m}$$ $$v_m=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$$ $$v_m^2=v^2$$ И в таком случае гиперболический синус должен соответствовать: $$\mathrm{sh}(2\psi_m)=\frac{v_m/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Поскольку в множителях матричных слагаемых величина $\psi_m$ стоит в знаменателе в той же степени что и величины $\psi_i$ в самой матрице, используем замену $$\begin{array}{c} \psi_i \rightarrow v_i \\ \psi_m \rightarrow v_m \end{array}$$ В этом случае мы сохраняем соответствие единичных направляющих векторов.

Итого, первое слагаемое линейного оператора, выраженного через скорость относительного движения в преобразовании Лоренца, получится: $$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end{array} \right)$$ Второе слагаемое, происходящее от векторного произведения, получится: $$\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & -v_3 & v_2 \\ 0 & 0 & 0 & v_3 & 0 & -v_1 \\ 0 & 0 & 0 & -v_2 & v_1 & 0 \\ 0 & v_3 & -v_2 & 0 & 0 & 0 \\ -v_3 & 0 & v_1 & 0 & 0 & 0 \\ v_2 & -v_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \frac{1}{c\sqrt{1-v^2/c^2}} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end{array} \right)$$ И третье слагаемое: $$\left( \begin{array}{cccccc} v_1v_1 & v_1v_2 & v_1v_3 & 0 & 0 & 0 \\ v_2v_1 & v_2v_2 & v_2v_3 & 0 & 0 & 0 \\ v_3v_1 & v_3v_2 & v_3v_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & v_1v_1 & v_1v_2 & v_1v_3 \\ 0 & 0 & 0 & v_2v_1 & v_2v_2 & v_2v_3 \\ 0 & 0 & 0 & v_3v_1 & v_3v_2 & v_3v_3 \end{array} \right) \frac{1-\sqrt{1-v^2/c^2}}{v^2\sqrt{1-v^2/c^2}} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \end{array} \right)$$ Соответственно, итоговый оператор есть их сумма.

Выражение $$\frac{1-\sqrt{1-v^2/c^2}}{v^2\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ можно представить в виде выражения записанного через $c$ и $\gamma$ где $\gamma$ это Лоренц-фактор: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Для этого преобразуемое выражение домножим в числителе и знаменателе на $1+\sqrt{1-v^2/c^2}$ и получим: $$\frac{\left(1-\sqrt{1-v^2/c^2}\right)\left(1+\sqrt{1-v^2/c^2}\right)} {v^2\sqrt{1-v^2/c^2}\left(1+\sqrt{1-v^2/c^2}\right)}$$ Здесь числитель упрощается до $$\left(1-\sqrt{1-v^2/c^2}\right)\left(1+\sqrt{1-v^2/c^2}\right)=v^2/c^2$$ И в преобразуемом выражении сократится использование $v^2$: $$\frac{v^2/c^2} {v^2\sqrt{1-v^2/c^2}\left(1+\sqrt{1-v^2/c^2}\right)}= \frac{1/\sqrt{1-v^2/c^2}} {c^2\left(1+\sqrt{1-v^2/c^2}\right)}$$ Теперь разделим числитель и знаменатель на $\sqrt{1-v^2/c^2}$: $$\frac{1/\left(\sqrt{1-v^2/c^2}\right)^2} {c^2\left(1/\sqrt{1-v^2/c^2}+1\right)} =\frac{\gamma^2}{c^2(\gamma+1)}$$ В остальных слагаемых выражение дроби через скорость света $c$ и Лоренц-фактор $\gamma$ делается очевидным образом.

Оглавление
Композиционные преобразования