Относительная кинетическая энергия

Как изменяется относительная кинетическая энергия при преобразованиях Лоренца?

Если наблюдатель наблюдает движение объекта $B$ относительно объекта $A$, то он может описать эту ситуацию преобразованием Лоренца, переводящим движение $A$ в $B$. Если бы наблюдатель был совмещен в начале своей СО с объектом $A$, то это преобразование им воспринималось бы как движение объекта $B$, взятого самого по себе. Но если такого совмещения нет, то преобразование из $A$ в $B$ выглядит относительным.

Если бы для наблюдателя объект $B$ покоился, то его импульс не имел бы векторной составляющей и был бы равен $$ P_B=m_Bc $$ Но, если наблюдатель совмещен с $A$, то движение $B$ выглядит с импульсом $$ P_B=T_{AB}m_Bc\bar{T}^*_{AB} $$ где $T$ - полуоператор преобразования Лоренца. Это необязательно движение в виде буста, это может быть и только поворот, вообще говоря.

Если наблюдатель не совмещен с объектом $A$, то импульс объекта $B$ выглядит как преобразование из состояния $A$: $$ P_B=T_{AB}T_Am_Bc\bar{T}^*_{A}\bar{T}^*_{AB} $$ Здесь полуоператор $T_{AB}$ является относительным преобразованием, наблюдаемым как преобразование в импульс $$ P_B=T_Bm_Bc\bar{T}^*_B $$ $$ T_B=T_{AB}T_A $$ И, если величины $T_A$ и $T_B$ описывают собственные импульсы объектов $A$ и $B$, которые могут быть найдены сами по себе, имея только сам объект, то величина $T_{AB}$ описывает относительный импульс объекта $B$, будучи условно примененным к массе $m_B$ объекта $B$, как если бы из объекта $A$ его импульс был виден как $$ P_{AB}=T_{AB}m_Bc\bar{T}^*_{AB} $$ Если для 4-мерного импульса его скалярная часть считается кинетической энергией, то для относительного импульса, соответственно, его скалярная часть должна считаться относительной кинетической энергией.

Но преобразование $T_{AB}$, как это показано для относительных преобразований, преобрауется композиционно при преобразованиях Лоренца для 4-мерных векторов, если те же два объекта $A$ и $B$ наблюдают другие наблюдатели.

В силу свойств композиционных преобразований функция от композиционно преобразуемого аргумента преобразуется также композиционно, и скалярная часть такой функции остается инвариантной. Следовательно, при преобразованиях Лоренца относительный импульс может лишь изменить направление, но не величину. Следовательно, относительная кинетическая энергий онвариантна относительно преобразований Лоренца применяемых к 4-мерным векторам.

В полный 4-мерный импульс входит кроме кинетической части также произведение векторного потенциала на заряд. Векторный потенциал при преобразованиях Лоренца преобразуется так же как вектор.

Соответственно, движущийся наблюдатель должен видеть изменение его скалярной части, которая представляет электрический потенциал.Может ли наблюдатель собственным движением изменить энергетику процессов? Увы, но нет. Относительный потенциал между двумя объектами также инвариантен относительно преобразований Лоренца, как и относительная кинетическая энергия.

Оглавление
Композиционные преобразования