Рассмотрим последовательное применение композиционных преобразований.
Положим, что сначала применяется композиционное преобразование a, а затем
преобразование b, также композиционное. Получается ли в результате
преобразование c также композиционным?
Если сначала объект преобразуется преобразованием a:
x→ψax¯ψa
А затем к результату применяется преобразование b:
ψax¯ψa→ψbψax¯ψa¯ψb
то в силу соотношения
¯xy=ˉyˉx
Можно приравнять:
ψc=ψbψa
И преобразование ψc можем считать результатом композиции.
Поскольку мы можем выполнить такую замену, то все свойства преобразований сумм,
произведений, и других операций сохраняются. также и для последовательности
композиционных преобразований
ψn…ψ3ψ2ψ1
Также можем сделать вывод, что для композиционного преобразования ψ
обратным ему будет ˉψ, поскольку
ˉψψxˉψˉˉψ=x
То есть последовательное применение сначала преобразования ψ, а затем
ˉψ дает единичное преобразование, оставляющее операнд неизменным.
Соответственно, можем сделать выводы о результатах преобразования при смене
порядка в композиции. Результаты применения ψaψb и ψbψa
могут как совпадать так и нет. Результаты, вообще говоря, будут совпадать
всегда, если ψ выбираются в коммутативной алгебре и совпадение будет
зависеть от взаимности направлений ψa и ψb для некоммутативных
алгебр.
Тот факт, что композиция композиционных преобразований по умножению
ψc=ψbψa
дают также композиционное преобразование, означает, что такие
преобразования образуют группу по умножению.
Существование же обратного изначально определяется тем, что мы выбираем для
преобразований лишь те, что имеют единичный модуль, и для таких выполняется:
|ψ|2=ψˉψ=1
|ψ|2=|ψb|2|ψa|2=1
Оглавление
Композиционные преобразования
Комментариев нет:
Отправить комментарий