Processing math: 100%

четверг, 29 декабря 2022 г.

Композиция преобразований

Рассмотрим последовательное применение композиционных преобразований.

Положим, что сначала применяется композиционное преобразование a, а затем преобразование b, также композиционное. Получается ли в результате преобразование c также композиционным?

Если сначала объект преобразуется преобразованием a: xψax¯ψa А затем к результату применяется преобразование b: ψax¯ψaψbψax¯ψa¯ψb то в силу соотношения ¯xy=ˉyˉx Можно приравнять: ψc=ψbψa И преобразование ψc можем считать результатом композиции.

Поскольку мы можем выполнить такую замену, то все свойства преобразований сумм, произведений, и других операций сохраняются. также и для последовательности композиционных преобразований ψnψ3ψ2ψ1 Также можем сделать вывод, что для композиционного преобразования ψ обратным ему будет ˉψ, поскольку ˉψψxˉψˉˉψ=x То есть последовательное применение сначала преобразования ψ, а затем ˉψ дает единичное преобразование, оставляющее операнд неизменным.

Соответственно, можем сделать выводы о результатах преобразования при смене порядка в композиции. Результаты применения ψaψb и ψbψa могут как совпадать так и нет. Результаты, вообще говоря, будут совпадать всегда, если ψ выбираются в коммутативной алгебре и совпадение будет зависеть от взаимности направлений ψa и ψb для некоммутативных алгебр.

Тот факт, что композиция композиционных преобразований по умножению ψc=ψbψa дают также композиционное преобразование, означает, что такие преобразования образуют группу по умножению.

Существование же обратного изначально определяется тем, что мы выбираем для преобразований лишь те, что имеют единичный модуль, и для таких выполняется: |ψ|2=ψˉψ=1 |ψ|2=|ψb|2|ψa|2=1

Оглавление
Композиционные преобразования

Комментариев нет:

Отправить комментарий