Композицией функций называется применение функции к результату другой функции (в качестве своего аргумента). Если есть функции f(x) и g(x), то их композициями будут f(g(x)) и g(f(x)). Разумеется, необходимо, чтобы область значений одной соответствовала области определения другой функции.
Положим, что функция $f$ зависит от аргумента, в качестве которого выступает функция $g$, сама зависящая от волнового аргумента.
$$
f=f(g(w))=f(g(w(x,t)))
$$
Найдем первые производные:
$$
f_x'=f_g'g_w'w_x'
$$
$$
f_t'=f_g'g_w'w_t'
$$
Сравнив с соответствующими производными функции от самого аолнового аргумента
$$
f=f(w)=f(w(x,t))
$$
$$
f_x'=f_w'w_x'
$$
$$
f_t'=f_w'w_t'
$$
Видно, что одна система уравнений превращается в другую с точностью до замены
$$
f_w'\rightarrow f_g'g_w'
$$
В остальном же все осталось неизменным. Таким образом, если есть функция волнового аргумента, удовлетворяющая волновому уравнению, то любая функция от неё (дифференцируемая по меньшей мере кусочно) также удовлетворяет волновому уравнению первого порядка.
Рассмотрим, что происходит с композицией функция для волнового уравнения второго порядка. Для этого для композиции функций
$$
f(g(w(x,t)))
$$
найдем первые и затем вторые производные:
$$
f_x'=f_g'g_w'w_x'
$$
$$
f_t'=f_g'g_w'w_t'
$$
$$
f_{xx}''=f_{gg}''g_w'w_x'g_w'w_x'+
f_g'g_{ww}''w_x'w_x'+f_g'g_w'w_{xx}''
$$
$$
f_{tt}''=f_{gg}''g_w'w_t'g_w'w_t'+
f_g'g_{ww}''w_t'w_t'+f_g'g_w'w_{tt}''
$$
У вторых производных можем вынести величину $w'^2$ за скобки:
$$
f_{xx}''=w_x'^2(f_{gg}''g_w'^2+f_g'g_{ww}'')+
f_g'g_w'w_{xx}''
$$
$$
f_{tt}''=w_t'^2(f_{gg}''g_w'^2+f_g'g_{ww}'')+
f_g'g_w'w_{tt}''
$$
Таким образом, композиционность функций волнового аргумента для волнового уравнения второго порядка сохраняется, если мы сможем получить уравнение вида
$$
f_{xx}''=\frac{\alpha}{\beta}f_{tt}''
$$
Это мы можем сделать в том случае, если выполняется условие
$$
w_{xx}''=0
$$
$$
w_{tt}''=0
$$
То есть требование сохранения композиционности для волнового уравнения второго порядка эквивалентно требованию композиционности для волнового уравнения первого порядка плюс дополнительное требование нулевой скорости волнового вектора, если волновой вектор образовывается из первых производных $w_x'$ и $w_t'$.
Оглавление: Волновое уравнение
Комментариев нет:
Отправить комментарий