Вернемся к формулировке локально волнового уравнения. А именно, пусть функция f(w) дважды дифференцируема по w и аргумент w есть функция от компонент координаты x и t.
$$
f(w)=f(w(x,t))
$$
Найдем первые производные:
$$
f_x'=f_w'w_x'
$$
$$
f_t'=f_w'w_t'
$$
Из этой системы уравнений можем вывести, что:
$$
f_x'=\frac{w_x'}{w_t'}f_t'
$$
То есть, если есть локально волновая функция, то её первые производные участвуют в соотношении:
$$
f_x'^2=\frac{1}{v_x^2}f_t'^2
$$
Это уравнение и назовем волновым уравнением первого порядка.
Перейдем к 3-мерному варианту, положив что аргумент волновой функции зависит от времени $t$ и компонент координат $x$, $y$ и $z$.
$$
w=w(x,y,z,t)
$$
$$
f(w)=f(w(x,y,z,t))
$$
Найдем первые производные:
$$
f_t'=f_w'w_t'
$$
$$
f_x'=f_w'w_x'
$$
$$
f_y'=f_w'w_y'
$$
$$
f_z'=f_w'w_z'
$$
Если возвести в квадрат и сложить, то получим
$$
f_x'^2+f_y'^2+f_z'^2=\frac{w_x'^2+w_y'^2+w_z'^2}{w_t'^2}f_t'^2
$$
Здесь выражение
$$
\frac{w_x'^2+w_y'^2+w_z'^2}{w_t'^2}
$$
определяет квадрат скорости так же, как и для волнового уравнения первого порядка.
Но в данном случае не требуется, чтобы величины $w_x'$, $w_y'$, $w_z'$ и $w_t'$ были константами. Выражение для волновой функции первого порядка, вообще говоря, определяет локально волновую функцию в общем случае. И, вообще говоря, в скорость фронта волны уже не требуется вносить дополнительные поправки с коэффициентами $f_w'/w_{ww}''$.
Итого, можем суммировать, что для волновой функции с константными $w'$ выполняется соотношение
$$
f_{xx}''+f_{yy}''+f_{zz}''=\frac{1}{v^2}f_{tt}''
$$
Но, вообще говоря, для общего случая также выполняется соотношение для производных первого порядка
$$
f_x'^2+f_y'^2+f_z'^2=\frac{1}{v^2}f_t'^2
$$
Оглавление: Волновое уравнение
Комментариев нет:
Отправить комментарий