О притяжении по Ньютону

Ключевым рассуждением об инерциальных системах было рассуждение о наблюдении притяжения. Если есть инерциальное движение, с точки зрения которого наблюдается притяжение, то в другом инерциальном движении это притяжение должно наблюдаться точно таким же. Согласимся, но...

Но мы попробуем наблюдать это же притяжение из системы отсчета, движущейся ускоренно. Ну вот такой мы наблюдатель. По Ньютону сила зависит от расстояния между гравитирующими телами обратно пропорционально квадрату расстояния. Обозначив также как Ньютон индексом 1 то, что относится к первому телу и индексом 2 то что ко второму, повторим суть его записи: $$ m_1\frac{d^2\mathbf{r}_1}{dt^2}=F(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) $$ $$ m_2\frac{d^2\mathbf{r}_2}{dt^2}=-F(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) $$ Если к координатам радиус-векторов $\mathbf{r}_1$ и $\mathbf{r}_2$ применяется инерциальное преобразование Галилея $$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}+\mathbf{v}t $$ то уравнения притяжения остаются инвариантными $$ \frac{d^2\mathbf{r}'_1}{dt^2}=\frac{d^2\mathbf{r}_1}{dt^2} $$ $$ \frac{d^2\mathbf{r}'_2}{dt^2}=\frac{d^2\mathbf{r}_2}{dt^2} $$ $$ \mathbf{r}'_2-\mathbf{r}'_1=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1 $$ Положим, что наш пытливый наблюдатель движется с ускорением и наблюдает преобразования радиус-векторов: $$ \mathbf{r}'=\mathbf{r}+\mathbf{v}t+\frac{\mathbf{a}}{2}t^2 $$ В этом случае сохраняется расстояние между гравитирующими телами $$ \mathbf{r}'_2-\mathbf{r}'_1=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1 $$ Но ускорения тел получают довесок в виде ускорения преобразования системы координат $$ \frac{d^2\mathbf{r}'_1}{dt^2}=\frac{d^2\mathbf{r}_1}{dt^2}+\mathbf{a} $$ $$ \frac{d^2\mathbf{r}'_2}{dt^2}=\frac{d^2\mathbf{r}_2}{dt^2}+\mathbf{a} $$ То есть обе силы должны получить довесок в зависимости от масс тел: $$ \Delta F_1=m_1\mathbf{a} $$ $$ \Delta F_2=m_2\mathbf{a} $$ Если в инерциальной системе отсчета силы были направлены противоположно, то довесок от ускорения добавляется одинаково, а не противоположно.

И, если для инерциального наблюдателя притягивающиеся друг к другу планеты и их спутники летели по эллиптичским орбитам, то для нашего пытливого наблюдателя они уже перестают быть таковыми и, вообще говоря, равенство противодействующих сил будет выглядеть нарушенным.

В чем причина проблемы? В том, что при добавлении чего-то к радиус-векторам разность между ними не изменилось и, соответственно, не изменилась функция (ни одна), зависящая от разности между ними. Но в закон притяжения вписаны сами по себе радиус-векторы в виде второй производной. То есть проблема в том, что одна сторона уравнения определяется от разности векторов, а другая от самих величин векторов.

Сложим исходные уравнения между собой: $$ \frac{d^2}{dt^2}\left(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2\right)=0 $$ $$ \frac{d^2}{dt^2}\left(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2\right)\rightarrow $$ $$ \frac{d^2}{dt^2}\left( m_1\mathbf{r}_1+m_1\mathbf{v}t+ m_1\frac{\mathbf{a}t^2}{2}+ m_2\mathbf{r}_2+m_2\mathbf{v}t+ m_2\frac{\mathbf{a}t^2}{2}\right) = $$ $$ =\frac{d^2}{dt^2}\left(m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2\right)+ m_1\mathbf{a}+m_2\mathbf{a} $$ Чтобы эта величина и после преобразования координат оставалась нулевой, нужно: $$ \frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2}\right)= -\mathbf{a} $$ Это формула наведенного ускорения центра масс.

То есть, если в исходную формулу закона гравитации мы подставим не ускорение радиус-вектора, а ускорение радиус-вектора относительно центра масс, то закон гравитации станет инвариантен и относительно неинерциального наблюдателя: $$ m_1\frac{d^2}{dt^2}\left(\mathbf{r}_1-\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2}\right)=F(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) $$ $$ m_2\frac{d^2}{dt^2}\left(\mathbf{r}_2-\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2}{m_1+m_2}\right)=-F(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) $$ В этом случае и инерциально движущийся и неинерциально движущийся наблюдатели видят, что два гравитирующих тела вращаются вокруг их общего центра масс. Что, в целом, вполне соответствует реальности. Ведь для обоих таких наблюдателей полуоси эллипсов тел должны оставаться инвариантами.

Соответственно, если есть одно тело (например $m_1$) и отсутствует второе ($m_2$), то центр масс совпадает с положением тела $m_1$ и нет никакого ускорения вызванного силой $F$. Соответственно, сила $F$ для одного тела равна нулю. И, если размеры тела пренебрежимо малы, то действие гравитации тела на самого себя также пренебрежимо мало независимо от массы тела.