Часть неберущихся интегралов получили собственные названия, это интегралы Пуассона и Френеля. Интегралы Пуассона используются в теории ошибок, а интегралы Френеля в интерферометрии. Тот факт что интегралы Френеля являются неберущимися можно вывести из того, что интегралы Пуассона являются неберущимися.
Интегралы Пуассона: $$ \int e^{x^2}dx $$ $$ \int e^{-x^2}dx $$ Интегралы Френеля: $$ \int \cos(x^2)dx $$ $$ \int \sin(x^2)dx $$ Сделав в интеграле Пуссона замену переменной $$ x \rightarrow \sqrt[4]{-1}x $$ получим, что неберущимся также должен быть и интеграл $$ \sqrt[4]{-1}\int e^{\sqrt{-1}x^2}dx $$ Подинтегральное выражение преобразуем используя формулу Эйлера $$ e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) $$ Получим два интеграла, по одному для действительной и мнимой частей: $$ \int e^{ix^2}dx=\int\cos(x^2)dx+i\int\sin(x^2)dx $$ Поскольку в левой части стоит неберущийся интеграл, в правой части также должны быть неберущиеся интегралы.
Таким образом, из того факта, что интегралы Пуассона являются неберущимися, следует что и интегралы Френеля также должны быть неберущимися.
Интегралы Пуассона: $$ \int e^{x^2}dx $$ $$ \int e^{-x^2}dx $$ Интегралы Френеля: $$ \int \cos(x^2)dx $$ $$ \int \sin(x^2)dx $$ Сделав в интеграле Пуссона замену переменной $$ x \rightarrow \sqrt[4]{-1}x $$ получим, что неберущимся также должен быть и интеграл $$ \sqrt[4]{-1}\int e^{\sqrt{-1}x^2}dx $$ Подинтегральное выражение преобразуем используя формулу Эйлера $$ e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) $$ Получим два интеграла, по одному для действительной и мнимой частей: $$ \int e^{ix^2}dx=\int\cos(x^2)dx+i\int\sin(x^2)dx $$ Поскольку в левой части стоит неберущийся интеграл, в правой части также должны быть неберущиеся интегралы.
Таким образом, из того факта, что интегралы Пуассона являются неберущимися, следует что и интегралы Френеля также должны быть неберущимися.
Комментариев нет:
Отправить комментарий