Алгебраические уравнения, в том числе и второго порядка, могут существовать не только в мире действительных и комплексных чисел, но и в других алгебрах. Рассмотрим квадратное уравнение в паракомплексных числах.
В паракомплексных числах число состоит из двух компонент $$ z = a + ib $$ с мнимой единицей $$ i^2 = 1 $$ Пусть $x$ - переменная уравнения, и числа $a+ib$ и $a-ib$ являются корнями квадратного уравнения. Тогда квадратное уравнение выражается через свои корни: $$ (x-a-ib)(x-a+ib)=0 $$ Раскроем его: $$ x^2-ax+ibx-ax+a^2-iab-ibx+iab-i^2b^2=0 $$ Уравнение упрощается и приводится к более привычному виду после группирования: $$ x^2-2ax+a^2-b^2=0 $$ Пусть задано квадратное уравнение $$ x^2+\alpha x+\beta=0 $$ Тогда для него должна выполняться система уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha =-2a \\ \beta = a^2-b^2 \end{array} \right. $$ Откуда следует: $$ \left\{ \begin{array}{l} a = -\frac{1}{2}\alpha\\ b=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}-\beta^2} \end{array} \right. $$ Таким образом, если выполняется условие $$ \alpha^2 \geq 4 \beta^2 $$ то для такого квадратного уравнения существует решение в паракомплексных числах с алгебраически сопряженными корнями: $$ x_1=a+ib $$ $$ x_2=a-ib $$
В паракомплексных числах число состоит из двух компонент $$ z = a + ib $$ с мнимой единицей $$ i^2 = 1 $$ Пусть $x$ - переменная уравнения, и числа $a+ib$ и $a-ib$ являются корнями квадратного уравнения. Тогда квадратное уравнение выражается через свои корни: $$ (x-a-ib)(x-a+ib)=0 $$ Раскроем его: $$ x^2-ax+ibx-ax+a^2-iab-ibx+iab-i^2b^2=0 $$ Уравнение упрощается и приводится к более привычному виду после группирования: $$ x^2-2ax+a^2-b^2=0 $$ Пусть задано квадратное уравнение $$ x^2+\alpha x+\beta=0 $$ Тогда для него должна выполняться система уравнений $$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha =-2a \\ \beta = a^2-b^2 \end{array} \right. $$ Откуда следует: $$ \left\{ \begin{array}{l} a = -\frac{1}{2}\alpha\\ b=\sqrt{\frac{\alpha^2}{4}-\beta^2} \end{array} \right. $$ Таким образом, если выполняется условие $$ \alpha^2 \geq 4 \beta^2 $$ то для такого квадратного уравнения существует решение в паракомплексных числах с алгебраически сопряженными корнями: $$ x_1=a+ib $$ $$ x_2=a-ib $$
Комментариев нет:
Отправить комментарий