ПНД в СТОможно также найти след работ Гамильтона. Хотя, казалось бы, Гамильтон работал задолго до формирования теории относительности и появления принципа Лоренц-ковариантности законов физики.
Сравним полученный ранее принцип наименьшего действия $$ S = \int (P,ds) $$ формулирующий Лоренц-инвариантность действия, в покомпонентной форме $$ S = \int(p_0cdt - p_xdx - p_ydy - p_zdz) $$ с гамильтоновой записью действия, содержащейся в множестве источников описывающих гамильтонову формулировку механики: $$ D = \int(p_xdx+p_ydy+p_zdz-H(p,q)dt) $$ И обратим внимание на то, что функция Гамильтона $H(p,q)$ обычно называется энергией, выраженной через импульсы, и сделаем небольшую замену: $$ -H(p.q)dt\rightarrow-\frac{H(p,q)}{c}cdt $$ Здесь мы можем это сделать, поскольку $c$ считается конечной величиной. Сравнив с используемым в теории относительности 4-вектором импульса, в котором скалярную часть импульса считают энергией деленной на скорость света $$ P=(H/c,p_x,p_y,p_z) $$ приходим к выводу, что гамильтонова запись действия на самом деле есть та же самая формулировка принципа наименьшего действия для СТО, если добавить знак минус; а именно, в гамильтоновой форме $$ S=-\int(P,ds) $$ И эта форма, и исходная $$ S=\int(P,ds) $$ оказывает на движение совершенно одинаковое действие, поскольку как у положительной так и у отрицательной формы одной и той же функции экстремумы совпадают по положению в силу того, что $$ 0=-0 $$ Вызывает искреннее восхищение, что Гамильтон задолго до формирования теории относительности нашел Лоренц-инвариантную формулировку действия. Использование именно гамильтоновой формы дало прорыв в квантовой механике.
Комментариев нет:
Отправить комментарий