ПНД в СТО

Как может выглядеть принцип наименьшего действия (ПНД) в специальной теории относительности (СТО)? Попробуем разобраться.

В трактовке Эйлера-Лагранжа изучается вариация действия как интеграла функции Лагранжа по времени при условии движения тела по пути так, чтобы вариация была равна нулю, то есть интеграл был экстремален: $$ \delta \int L(t,q,\dot{q})dt = 0 $$ При этом функция Лагранжа оценивается как разность кинетической и потенциальной энергии: $$ L=T-V $$ Полагая, что функция Лагранжа есть функция времени, координат и скоростей, в соответствии с принципами вариационного исчисления получается уравнение Эйлера-Лагранжа: $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 $$ Здесь конструкция $$ \frac{\partial L}{\partial q} $$ и есть обобщенная сила, в то время как $$ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p $$ есть обобщенный импульс.

Собственно сами кинетическая и потенциальная энергия, как и время, в СТО есть скалярные составляющие соответствующих 4-векторов соответственно импульса и координат. По этой причине использование выделенного времени и выделенной энергии в СТО приводит к зависимости результата наблюдения от движения наблюдателя.

Еще одна формулировка действия, которая может встретиться, называется укороченным действием $$ S_0=\int \sum p_i dq_i=\int({\bf p},{\bf v})dt $$ Именно в таких формулировках и рассуждали в свое время Лагранж и Эйлер. И отметим что при изучении явлений обнаруживается, что такой интеграл экстремален. В форме, использованной Эйлером, он выглядит так: $$ \int mvds $$ где ds обозначает малое приращение вдоль пути.

В исследованиях по электродинамике, в частности, при поиске вывода формулы силы Лоренца, можно втретить применение функции Лагранжа для поля, где потенциальная энергия зависит от скорости следующим образом: $$ V=q\varphi-\frac{q}{c}{\bf v}\cdot{\bf A} $$ Здесь жирным шрифтом выделена 3-мерная вектораная часть векторного потенциала.

Если вернуться к уравнению динамики в СТО, то в импульс входит полевая составляющая: $$ P-m_GA_G+qA $$ Здесь часть векторного потенциала $P$ содержит кинетическую энергию в скалярной части $$ p_0 = E/c $$ и векторная часть $p$ есть импульс $$ Iip_x+Ijp_y+Ikp_z $$ В целом эта конструкция характеризует кинетическую составляющую импульса и величина $p$ может быть названа кинетическим импульсом и величины $$ m_GA_G-qA $$ могут быть названы потенциальнфм импульсом в присутствии поля. Если есть поле и соответствующий заряд, то их произведение образует такой условный потенциальный импульс. В них кроме скалярных составляющих входят также и векторные, которые не могут быть трактованы как энергия, но преобразуются как единые 3-векторы. По этой причине, чтобы акцентировать внимание на присутствии и векторных составляющих, они и упоминаются как потенциальные импульсы.

Присутствие объекта в поле никак не меняет его кинетический импульс, и кинетическая энергия может быть одной и той же при разных величинах поля. Она будет меняться лишь если силе, которую создают эти поля, будет предоставлена возможность изменить движение тела.

Видится некорректным включать в потенциальную энергию величину $$ {\bf v}\cdot{\bf A} $$ в отрыве от полной формулировки векторного потенциала как 4-вектора.

Если рассуждать цельно, то можно учесть и то, что в функцию Лагранжа входит разность кинетической и потенциальной энергии, и экстремум интегриорвания импульса по криволинейному пути, и включение в потенциальную энергию для выделенного наблюдателя скалярного произведения скорости на векторый потенциал. Нужно также учесть, что если для какого-либо наблюдателя некий интеграл экстремален, то он должен быть экстремален также и для всех остальных наблюдателей. Кроме того, произвольный наблюдатель может наблюдать движение на произвольно взятом участке пути и на любой его части соответствующий интеграл также должен быть экстремален.

Таким условиям можно удовлетворить, если в подинтегральном выражении использовать скалярное произведение двух 4-векторов (или двух бивекторов, но в текущем исследовании рассматриваются пока только 4-векторы). Один из них - 4-вектор импульса и второй - 4-вектор переменной интегрирования по пути: $$ \int(p,dr) $$ Здесь $p$ - импульс $$ p=E/c+Iip_x+Ijp_y+Ikp_z = E/c+{\bf p} $$ $$ dr=cdt+Iidx+Ijdy+Ijdz $$ Итого подинтегральным выражением будет являться $$ \int Edt-p_xdx-p_ydy-p_zdz $$ В силу огромной величины сокрости $c$ для обычных нерелятивистских наблюдений величина $cdt$ существенно больше чем векторная составляющая $$ |cdt| \gg |Iidx+Ijdy+Ijdz| $$ При наличии полей полный импульс получает коррекцию: $$ p\rightarrow p-m_GA_G+qA $$ При этом скалярное произведение $$ \int (p,v)dt $$ входит в функцию Лагранжа как кинетическая составляющая $T$, и $$ \int(m_GA_G-qA,v)dt $$ как потенциальная составляющая $V$.

Здесь использовалась 4-скорость в виде $$ 1+Iiv_x/c+Ijv_y/c+Ikv_z/c=1+{\bf v}/c $$ То есть возникает различие между собственной кинетической энергией $E$ входящей в скалярную часть 4-вектора импульса и Лагранжевой кинетической энергией $T$, равно как между собственной потенциальной энергией как скалярной части потенциального импульса и лагранжевой потенциальной энергией.

Здесь можно сделать некоторое уточнение, что такое различие зависит от наблюдателя. Для этого выберем такого наблюдателя который движется синхронно и сонаправленно с наблюдаемым телом. В этом случае для него импульс тела не будет иметь векторной составляющей и будет направлен по оси времени, и будет иметь величину $mc$. Наблюдение тела таким наблюдателем и называют состоянием покоя наблюдаемого тела. В случае если наблюдатель именно такой, то не будет различий и между собственной кинетической энергией и лагранжевой кинетической энергией. Аналогично в силу преобразуемости 4-вектора потенциального импульса как 4-вектора возможен выбор такого движения наблюдателя при котором он будет наблюдать только скалярный потенциал, но без векторной составляющей. В этом случае потенциальная энергия тела будет совпадать с его лагранжевой потенциальной энергией. Конечно, устранить таким переходом к наблюдателю покоя поля можно, вообще говоря в общем случае, лишь для одного из полей.

Представляется вполне цельным и логичным, что формулировка интеграла действия в виде $$ \int (p,dr) $$ где в импульс также входит полевая составляющая в точности соответствует принципам СТО и включает ранее полученные результаты как нерелятивистской механики так и электродинамики.

Если мы можем сделать замену $$ dr=cdt+Iiv_xdt+Ijv_ydt+Ikv_zdt $$ то подстановка в уравнение $$ \int(q\varphi+q{\bf A},dr) $$ и дает довесок $$ q\varphi+q\frac{{\bf v}}{c}\cdot{\bf A} $$ в потенциальную энергию.

Также заслуживает быть отмечен тот факт, что Ричард Фейнман при формулировании квантовой механики в виде интегралов по траекториям также оперирует действием в виде скалярного произведения импульса на приращение вдоль пути, и именно эта величина деленная на квант действия $\hbar$ и используется как фаза волновой функции.

Ранее по тексту была сделана замена $dr$ на сумму отдельных дифференциалов и через скорость $v$ дифференциал $dr$, являющийся многомерным, был выражен через скалярный дифференциал $dt$.

Похожую подстановку можем выполнить и с векторами кинтического и потенциального импульсов. Поскольку это 4-векторы, то при преобразованиях Лоренца, являющихся унитарными, остается инвариантным их модуль. В случае с кинетическим импульсом это масса: $$ m^2c^2=E^2/c^2-{\bf p}^2 $$ В случае с потенциальным импульсом также остается инвариантным соответствующий модуль, например для векторного потенциала электромагнитного опля $$ |A|^2=\varphi^2-{\bf A}^2 $$ и гравитационного $$ |A_G|^2=\varphi_G^2-{\bf A}_G^2 $$ Используя эти соотношения, можно сделать замену $$ E/c=\sqrt{m^2c^2+{\bf p}^2} $$ $$ \varphi=\sqrt{|A|^2+{\bf A}^2} $$ $$ \varphi_G=\sqrt{|A_G|^2+{\bf A}_G^2} $$ И в отсутствии полей уравнение Эйлера-Лагранжа можно получить из варьирования действия как интеграла по пути: $$ \delta\int\left(\sqrt{m^2c^2+{\bf p}^2}-{\bf p}\cdot{\bf v}/c\right)dt=0 $$ В присутствии же полей в добавляются в подинтегральное выражение и части от потенциальных импульсов: $$ \sqrt{|A|^2+{\bf A}^2}-{\bf A}\cdot{\bf v}/c $$ $$ \sqrt{|A_G|^2+{\bf A}_G^2}-{\bf A}_G\cdot{\bf v}/c $$