Композиционное преобразование периода

Если есть композиционное преобразование полуоператора поворота, то оно эквиввалентно экспоненте от композиционного преобразования угла половинного поворота: $$Te^{\varphi/2}\bar{T}=e^{T\varphi/2\bar{T}}$$ Сам угол поворота $\varphi$ является аксиальной величиной и к нему всегда можно добавить $2\pi$ в его же направлении целое число раз, в том числе отрицательное: $$e^{\varphi}=e^{\varphi+2\pi nJ}$$ Здесь через $J$ обозначена условная ориентированная мнимая единица в базисе $i, j, k$: $$J=\varphi/|\varphi|$$ $$J^2=-1$$ $J$ по направлению сонаправлено вектору $\varphi$.

Соответственно, при применении композиционного преобразования к такому кратному сколько угодно раз углу возникает вопрос - будет ли столь же кратно увеличиваться наводимая индукцией быстрота?

В силу того, что $J$ сонаправлен вектору $\varphi$, следует справедливым полагать равенство: $$e^{\varphi+2\pi nJ}=e^{\varphi}e^{2\pi nJ}$$ $$Te^{\varphi+2\pi nJ}\bar{T}=Te^{\varphi}\bar{T}Te^{2\pi nJ}\bar{T}$$ И задача сводится к рассмотрению, будет ли возникать наведенная быстрота из единицы. Логично предположить, что поскольку $$e^{2\pi nJ}=1$$ то и результат композиционного преобразования должен быть равен 1.

Чтобы доказать, что $$Te^{2\pi n}\bar{T}=e^{T2\pi nJ\bar{T}}$$ не содержит наведенной быстроты, разложим выражение в ряд: $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots$$ И сначала рассмотрим квадрат: $$T2\pi nJ\bar{T}T2\pi nJ\bar{T}=-(2\pi n)^2$$ в силу того, что $$T\bar{T}=1$$ $$J^2=-1$$ и для скалярной величины $C$ выполняется: $$TC\bar{T}=CT\bar{T}=C$$ Исходя из величины квадрата аргумента угла можно построить все остальные степени. Третья степень: $$-(2\pi n)^22\pi nTJ\bar{T}$$ Четвертая степень: $$(2\pi n)^4$$ Пятая степень: $$(2\pi n)^2TJ\bar{T}$$ Получается, что экспоненциальный ряд составляется из членов, не содержащих и содержащих величину $TJ\bar{T}$: $$\begin{array}{c} e^{T2\pi nJ\bar{T}}=1+2\pi nTJ\bar{T}-\frac{(2\pi n)^2}{2!}- \\ -\frac{(2\pi n)^22\pi nTJ\bar{T}}{3!}+\frac{(2\pi n)^4}{4!}+\ldots \end{array}$$ Элементы, не содержащие величину $TJ\bar{T}$, группируются в ряд: $$1-\frac{(2\pi n)^2}{2!}+\frac{(2\pi n)^4}{4!}-\ldots$$ Это ряд, представляющий функцию тригонометрического косинуса: $$\cos(2\pi n)$$ Для этой функции значение для аргумента $2\pi n$ хорошо известно, эт оединица.

Члены разложения, содержащие величину $TJ\bar{T}$, группируются в ряд: $$TJ\bar{T}\left(2\pi n-\frac{(2\pi n)^3}{3!}+ \frac{(2\pi n)^5}{5!}+\ldots\right)$$ Здесь в скобках - ряд, представляющий тригонометрическую функцию синуса $$\sin(2\pi n)$$ Для этой функции и этого аргумента значение также хорошо известно, это ноль. Таким образом, совершенно неважно, чему равно значение $TJ\bar{T}$, поскольку оно умножается на ноль и в итоге весь оператор равен единице.

Кинематическая индукция, оглавление