Если есть композиционное преобразование полуоператора поворота, то оно эквиввалентно экспоненте от композиционного преобразования угла половинного поворота:
$$
Te^{\varphi/2}\bar{T}=e^{T\varphi/2\bar{T}}
$$
Сам угол поворота $\varphi$ является аксиальной величиной и к нему всегда можно добавить $2\pi$ в его же направлении целое число раз, в том числе отрицательное:
$$
e^{\varphi}=e^{\varphi+2\pi nJ}
$$
Здесь через $J$ обозначена условная ориентированная мнимая единица в базисе $i, j, k$:
$$
J=\varphi/|\varphi|
$$
$$
J^2=-1
$$
$J$ по направлению сонаправлено вектору $\varphi$.
Соответственно, при применении композиционного преобразования к такому кратному сколько угодно раз углу возникает вопрос - будет ли столь же кратно увеличиваться наводимая индукцией быстрота?
В силу того, что $J$ сонаправлен вектору $\varphi$, следует справедливым полагать равенство:
$$
e^{\varphi+2\pi nJ}=e^{\varphi}e^{2\pi nJ}
$$
$$
Te^{\varphi+2\pi nJ}\bar{T}=Te^{\varphi}\bar{T}Te^{2\pi nJ}\bar{T}
$$
И задача сводится к рассмотрению, будет ли возникать наведенная быстрота из единицы. Логично предположить, что поскольку
$$
e^{2\pi nJ}=1
$$
то и результат композиционного преобразования должен быть равен 1.
Чтобы доказать, что
$$
Te^{2\pi n}\bar{T}=e^{T2\pi nJ\bar{T}}
$$
не содержит наведенной быстроты, разложим выражение в ряд:
$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots
$$
И сначала рассмотрим квадрат:
$$
T2\pi nJ\bar{T}T2\pi nJ\bar{T}=-(2\pi n)^2
$$
в силу того, что
$$
T\bar{T}=1
$$
$$
J^2=-1
$$
и для скалярной величины $C$ выполняется:
$$
TC\bar{T}=CT\bar{T}=C
$$
Исходя из величины квадрата аргумента угла можно построить все остальные степени. Третья степень:
$$
-(2\pi n)^22\pi nTJ\bar{T}
$$
Четвертая степень:
$$
(2\pi n)^4
$$
Пятая степень:
$$
(2\pi n)^2TJ\bar{T}
$$
Получается, что экспоненциальный ряд составляется из членов, не содержащих и содержащих величину $TJ\bar{T}$:
$$
\begin{array}{c}
e^{T2\pi nJ\bar{T}}=1+2\pi nTJ\bar{T}-\frac{(2\pi n)^2}{2!}- \\
-\frac{(2\pi n)^22\pi nTJ\bar{T}}{3!}+\frac{(2\pi n)^4}{4!}+\ldots
\end{array}
$$
Элементы, не содержащие величину $TJ\bar{T}$, группируются в ряд:
$$
1-\frac{(2\pi n)^2}{2!}+\frac{(2\pi n)^4}{4!}-\ldots
$$
Это ряд, представляющий функцию тригонометрического косинуса:
$$
\cos(2\pi n)
$$
Для этой функции значение для аргумента $2\pi n$ хорошо известно, эт оединица.
Члены разложения, содержащие величину $TJ\bar{T}$, группируются в ряд:
$$
TJ\bar{T}\left(2\pi n-\frac{(2\pi n)^3}{3!}+
\frac{(2\pi n)^5}{5!}+\ldots\right)
$$
Здесь в скобках - ряд, представляющий тригонометрическую функцию синуса
$$
\sin(2\pi n)
$$
Для этой функции и этого аргумента значение также хорошо известно, это ноль. Таким образом, совершенно неважно, чему равно значение $TJ\bar{T}$, поскольку оно умножается на ноль и в итоге весь оператор равен единице.
Кинематическая индукция, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий