Инвариант композиционного преобразования

Если есть преобразование Лоренца, применяемое к 4-вектору пространства-времени, то оно сохраняет квадрат величины этого вектора. Это инвариант преобразования Лоренца. А если есть композиционное преобразование, то какая величина от преобразуемой величины будет сохраняться инвариантной? Попробуем разобраться.

Положим, что композиционно преобразуемая величина состоит из полярной и аксиальной частей: $$Ip+a$$ здесь $p$ и $a$ - кватернионные части: $$Ip=I(ip_x+jp_y+kp_z)$$ $$a=ia_x+ja_y+ka_z$$ Рассмотрим, чему равна величина квадрата от такого составного вектора $$(Ip+a)(Ip+a)$$ Для кватернионных величин $a$ и $p$ состоящих только из мнимых частей выполняется: $$ab=-(a,b)+[a,b]$$ где $(a,b)$ - скалярное произведение $$(a,b)=a_xb_a+a_yb_y+a_zb_z$$ и $[a,b]$ - векторное произведение $$\begin{array}{c} [a,b]=i(a_yb_z-a_zb_y)+\\ +j(a_zb_x-a_xb_z)+k(a_xb_y-a_yb_x) \end{array}$$ Для них выполняются соотношения: $$(a,b)=(b,a)$$ $$[a,b]=-[b,a]$$ $$[a,a]=0$$ Используя эти свойства, раскроем квадрат исходной величины, зная что $I^2=1$ и что $I$ коммутирует с единицами i, j, k. $$(Ip+a)(Ip+a)=(p,p)-I(p,a)+I[p,a]-I(a,p)-I[a,p]-(a,a)$$ Упростив, получаем: $$(p,p)-(a,a)-2I(a,p)$$ Теперь рассмотрим что происходит с таким квадратом при композиционном преобразовании $T$: $$T(Ip+a)\bar{T}T(Ip+a)\bar(T)$$ Поскольку $\bar{T}T=1$ и поскольку величина $(Ip+a)^2$ есть сумма скаляра и псевдоскаляра, то в силу свойства композиционного преобразования оставлять неизменным скаляр $$TC\bar{T}=CT\bar{T}=C$$ получаем, что квадрат композиционно преобразуемой величины, если она есть чисто векторная, остается инвариантом $$T(Ip+a)\bar{T}T(Ip+a)\bar{T}=(p,p)-(a,a)-2I(a,p)$$ Если инвариантная величина является составной, то инвариантами одновременно друг с другом являются все ее компоненты: $$(p,p)-(a,a)=inv$$ $$I(a,p)=inv$$ Здесь первый инвариант скалярная величина, а вторая псевдоскалярная. При изменении правила произведения мнимых единиц с правого на левое первая величина остается неизменной, а вторая должна изменить знак.

В частности, композиционно преобразуемой величиной является напряженность электромагнитного поля ${\bf E},{\bf B}$. И поэтому для них также инвариантны величины $$\begin{array}{c} {\bf E}^2-{\bf B}^2 = inv\\ ({\bf E},{\bf B}) = inv \end{array}$$ при композиционном преобразовании.

Часто эти инварианты относят к инвариантам самого поля. Строго говоря, это неверно, поскольку инварианты относятся к преобразованию, и для иных преобразований и инварианты будут другие. Например, для преобразований 3-мерных поворотов инвариантов будет уже три: $$\begin{array}{c} {\bf E}^2 = inv\\ {\bf B}^2 = inv\\ ({\bf E},{\bf B}) = inv \end{array}$$ Если при композиционном преобразовании модуль преобразуемой величины полагать неизменным из-за единичности модулей операторов преобразования, то взяв факторизацию полимодуля с нувевыми частями $x_0=x_4=0$, получим: $$4(p,a)^2+p^4-2p^2a^2+a^4$$ То есть требование инвариантности полимодуля приводит к величине составленной из найденных ранее $$\begin{array}{c} (p,p)-(a,a)=inv \\ (a,p)=inv \end{array}$$ Еще одним следствием инварианта в найденной форме является правило преобраования относительного угла двух объектов. Если два объекта по своему положению отличаются друг от друга преобразованием Лоренца, в котором ненулевой буст и нулевой игол либо ненулевой игол и нулевой буст, то в силу того что одна из частей ($p$ или $a$) равна нулю, выполняется $$(a,p)=0$$ Соответственно, при преобразовании Лоренца применяемого к векторам, к относительному углу применяется композиционное преобразование и для любого наблюдателя относительный угол и буст для этих двух тел будут наблюдаться ортогональными друг другу.

Кинематическая индукция, оглавление