Processing math: 100%

воскресенье, 23 июля 2023 г.

Оценка индукции быстроты

Зададимся вопросом, а насколько велика индукция дополнительно появляющейся скорости и как ее оценить количественно.

Обратимся к рассмотренному ранее матричному представлению операторов преобразования Лоренца и поворотов.

Положим, что преобразования образуют последовательность L(ψ)L(φ)L(ψ) Выберем самый простой для оценки вариант, при котором L(ψ)=(chψshψ00shψchψ0000100001) И поворот выполняется вокруг оси Z на угол φz: L(φz)=(10000cosφzsinφz00sinφzcosφz00001) В этом случае искомая композиция преобразований равна: (ch2ψcosφzsh2ψcosφzchψshchψshψsinφzshψ0chψshψcosφzshψcosφzch2ψsh2ψcosφzchψ0sinφzshψsinφzchψcosφz00001) Для гиперболических функций быстроты используем их связь со скоростью: thψ=vc chψ=11v2/c2 shψ=v/c1v2/c2 И тот факт, что обобщенный поворот задается матрицей в общем виде L(φ)=(10000a11a12a130a21a22a230a31a32a33) Здесь важно то, что в первой колонке и в первой строке стоят нули и на главной диагонали - единица. Из этого факта следует, что если матрица оператора поворота умножается либо слева либо справа на матрицу оператора преобразования буста, то в получающемся результате левый верхний коэффициент равен левому верхнему коэффициенту оператора буста: (100)(chψ)=(chψ) В выражение chψ входит скорость в квадрате и мы можем оценить ее величину, хотя и не затрагивая направление.

Для случая поворота вокруг только оси Z получаем: chψ=ch2ψcosφzch2ψ В случае же обобщенного поворота с векторным параметром φ=iφx+jφy+kφz вместо cosφz нужно использовать направляющий косинус поворота в 3-мерном пространстве: cos|φ|+(1cos|φ|)φ2x|φ|2 Сохраняя укороченное выражение для обобщенного направляющего косинуса через φz, искомую быстроту можно представить как chψ=1cosφzv2/c21v2/c2=11v2/c2 В полученное выражение величина индуцированной скорости v/c входит в первом порядке, а величина v/c во втором. То есть эффект индуцирования имеет второй порядок малости.

Кинематическая индукция, оглавление

Комментариев нет:

Отправить комментарий