Зададимся вопросом, а насколько велика индукция дополнительно появляющейся скорости и как ее оценить количественно.
Обратимся к рассмотренному ранее матричному представлению операторов преобразования Лоренца и поворотов.
Положим, что преобразования образуют последовательность
L(ψ)L(φ)L(−ψ)
Выберем самый простой для оценки вариант, при котором
L(ψ)=(chψshψ00shψchψ0000100001)
И поворот выполняется вокруг оси Z на угол φz:
L(φz)=(10000cosφz−sinφz00sinφzcosφz00001)
В этом случае искомая композиция преобразований равна:
(ch2ψ−cosφzsh2ψcosφzchψsh−−chψshψ−sinφzshψ0chψshψ−cosφzshψcosφzch2ψ−sh2ψcosφzchψ0−sinφzshψsinφzchψcosφz00001)
Для гиперболических функций быстроты используем их связь со скоростью:
thψ=vc
chψ=1√1−v2/c2
shψ=v/c√1−v2/c2
И тот факт, что обобщенный поворот задается матрицей в общем виде
L(φ)=(10000a11a12a130a21a22a230a31a32a33)
Здесь важно то, что в первой колонке и в первой строке стоят нули и на главной диагонали - единица. Из этого факта следует, что если матрица оператора поворота умножается либо слева либо справа на матрицу оператора преобразования буста, то в получающемся результате левый верхний коэффициент равен левому верхнему коэффициенту оператора буста:
(100⋱)(chψ…⋮⋱)=(chψ…⋮⋱)
В выражение chψ входит скорость в квадрате и мы можем оценить ее величину, хотя и не затрагивая направление.
Для случая поворота вокруг только оси Z получаем:
chψ′=ch2ψ−cosφzch2ψ
В случае же обобщенного поворота с векторным параметром
φ=iφx+jφy+kφz
вместо cosφz нужно использовать направляющий косинус поворота в 3-мерном пространстве:
cos|φ|+(1−cos|φ|)φ2x|φ|2
Сохраняя укороченное выражение для обобщенного направляющего косинуса через φz, искомую быстроту можно представить как
chψ′=1−cosφzv2/c21−v′2/c2=1√1−v2/c2
В полученное выражение величина индуцированной скорости v′/c входит в первом порядке, а величина v/c во втором. То есть эффект индуцирования имеет второй порядок малости.
Кинематическая индукция, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий