Рассмотрим, как выглядит поворот с точки зрения движущегося наблюдателя в матричном выражении.
Положим, что преобразование, связанное с движением наблюдателя, описывается матрицей буста и скоростью v вдоль оси x так, что
vc=thψ
И матрица представления вектора
(ctxyz)
имеет вид:
L(ψ)=(chψshψ00shψchψ0000100001)
Соответственно, у него есть обратное преобразование L(−ψ):
L(−ψ)=(chψ−shψ00−shψchψ0000100001)
Положим, что для неподвижного наблюдателя наблюдается поворот вокруг некоторого вектора. В обобщенной форме этот поворот описывается матрицей:
L(φ)=(10000a11a12a130a21a22a230a31a32a33)
В действительности, конечно, у этой матрицы по 9 переменных коэффициентов и они есть функции от 3-х компонент вектора оси поворота. В данном случае точные их значения не важны.
Для подвижного наблюдателя объекты (те же самые) видны после применения преобразования L(ψ). Поэтому, чтобы оценить как при преобразовании ψ преобразуется угол φ, нужно выполнить преобразование от подвижного наблюдателя к неподвижному L(−ψ), затем само преобразование L(φ), и затем обратно преобразование к движущемуся наблюдателю:
L(ψ)L(φ)L(−ψ)
Раскрыв его в вышеприведенных матриxнsх представлениях этих операторов, получим результат:
(ch2ψ−a11sh2ψa11chψshψ−chψshψa11shψa13chψchψshψ−a11chψshψa11ch2ψ−sh2ψa12chψa13chψ−a21shψa21chψa22a23−a31shψa31chψa32a33)
Здесь левый верхний коэффициент задает (или определяет) гиперболический косинус быстроты получающегося преобразования. В случае если a11≠1 этот коэффициент не равен единице. То есть получающийся оператор не является оператором только лишь поворота.
Матричное представление преобразований, хотя и не выделяет явно полярные и аксиальные величины, но тем не менее вполне доступно и тем, кого могут затруднить гиперкомплексные операторы и параметры функций.
В преобразовании поворота L(φ) значение a11 для преобразования вокруг оси x равно 1:
L(φ)=(1000010000cosφx−sinφx00sinφxcosφx)
Этот оператор коммутирует с преобразованием буста вдоль оси x, поэтому в итоговом результате нет дополнительного движения. Значение a11 не равно 1 если вектор поворота φ содержит компоненты вдоль осей y или z.
Таким образом, в кинематической индукции можно убедиться с использованием совсем простых операторов.
Точно так же можно убедиться в преобразовании не только поворота, но и буста. Положим, что преобразуемым для композиционного преобразования выбрано преобразование движения, а именно:
L(α)=(chαshα00shαchα1000100001)
Рассмотрев преобразование этого оператора
L(ψ)L(α)L(−ψ)
несложно убедиться, что результат равен L(α). Поскольку векторы параметров этих операторов сонаправлены (неважно, вдоль или против), то такое произведение означает лишь сложение параметров, как если бы было
ψ+α−ψ=α
Но, если вктор α не сонаправлен вектору ψ то все выглядит сложнее.
Пусть векторный параметр α направлен вдоль оси y:
L(α)=(chα0shα00100shα0chα00001)
В этом случае произведение
L(ψ)L(α)L(−ψ)
равно:
((chα−1)ch2ψ+1(1−chα)chψshψshαchψ0(chα−1)chψshψ(1−chα)ch2ψ+chαshαshψ0shαchψ−shαshψchα00001)
Здесь появляется антисимметричная составляющая, отвечающая за поворот, содержащийся в операторе результата. Кроме него, конечно, присутствует также и движение. Левый верхний коэффициент матрицы
(chα−1)ch2ψ+1
видимо, никогда не сможет стать равным единице если α≠0,
поэтому результат не сможет быть чисто оператором поворота.
Кинематическая индукция, оглавление
Комментариев нет:
Отправить комментарий