Processing math: 100%

суббота, 22 июля 2023 г.

Матричное представление кинематической индукции

Рассмотрим, как выглядит поворот с точки зрения движущегося наблюдателя в матричном выражении.

Положим, что преобразование, связанное с движением наблюдателя, описывается матрицей буста и скоростью v вдоль оси x так, что vc=thψ И матрица представления вектора (ctxyz) имеет вид: L(ψ)=(chψshψ00shψchψ0000100001) Соответственно, у него есть обратное преобразование L(ψ): L(ψ)=(chψshψ00shψchψ0000100001) Положим, что для неподвижного наблюдателя наблюдается поворот вокруг некоторого вектора. В обобщенной форме этот поворот описывается матрицей: L(φ)=(10000a11a12a130a21a22a230a31a32a33) В действительности, конечно, у этой матрицы по 9 переменных коэффициентов и они есть функции от 3-х компонент вектора оси поворота. В данном случае точные их значения не важны.

Для подвижного наблюдателя объекты (те же самые) видны после применения преобразования L(ψ). Поэтому, чтобы оценить как при преобразовании ψ преобразуется угол φ, нужно выполнить преобразование от подвижного наблюдателя к неподвижному L(ψ), затем само преобразование L(φ), и затем обратно преобразование к движущемуся наблюдателю: L(ψ)L(φ)L(ψ) Раскрыв его в вышеприведенных матриxнsх представлениях этих операторов, получим результат: (ch2ψa11sh2ψa11chψshψchψshψa11shψa13chψchψshψa11chψshψa11ch2ψsh2ψa12chψa13chψa21shψa21chψa22a23a31shψa31chψa32a33) Здесь левый верхний коэффициент задает (или определяет) гиперболический косинус быстроты получающегося преобразования. В случае если a111 этот коэффициент не равен единице. То есть получающийся оператор не является оператором только лишь поворота.

Матричное представление преобразований, хотя и не выделяет явно полярные и аксиальные величины, но тем не менее вполне доступно и тем, кого могут затруднить гиперкомплексные операторы и параметры функций.

В преобразовании поворота L(φ) значение a11 для преобразования вокруг оси x равно 1: L(φ)=(1000010000cosφxsinφx00sinφxcosφx) Этот оператор коммутирует с преобразованием буста вдоль оси x, поэтому в итоговом результате нет дополнительного движения. Значение a11 не равно 1 если вектор поворота φ содержит компоненты вдоль осей y или z.

Таким образом, в кинематической индукции можно убедиться с использованием совсем простых операторов.

Точно так же можно убедиться в преобразовании не только поворота, но и буста. Положим, что преобразуемым для композиционного преобразования выбрано преобразование движения, а именно: L(α)=(chαshα00shαchα1000100001) Рассмотрев преобразование этого оператора L(ψ)L(α)L(ψ) несложно убедиться, что результат равен L(α). Поскольку векторы параметров этих операторов сонаправлены (неважно, вдоль или против), то такое произведение означает лишь сложение параметров, как если бы было ψ+αψ=α Но, если вктор α не сонаправлен вектору ψ то все выглядит сложнее.

Пусть векторный параметр α направлен вдоль оси y: L(α)=(chα0shα00100shα0chα00001) В этом случае произведение L(ψ)L(α)L(ψ) равно: ((chα1)ch2ψ+1(1chα)chψshψshαchψ0(chα1)chψshψ(1chα)ch2ψ+chαshαshψ0shαchψshαshψchα00001) Здесь появляется антисимметричная составляющая, отвечающая за поворот, содержащийся в операторе результата. Кроме него, конечно, присутствует также и движение. Левый верхний коэффициент матрицы (chα1)ch2ψ+1 видимо, никогда не сможет стать равным единице если α0, поэтому результат не сможет быть чисто оператором поворота.

Кинематическая индукция, оглавление

Комментариев нет:

Отправить комментарий