Матричное представление кинематической индукции

Рассмотрим, как выглядит поворот с точки зрения движущегося наблюдателя в матричном выражении.

Положим, что преобразование, связанное с движением наблюдателя, описывается матрицей буста и скоростью $v$ вдоль оси $x$ так, что $$ \frac{v}{c}=\mathrm{th}\psi $$ И матрица представления вектора $$ \left( \begin{array}{c} ct\\ x\\ y\\ z \end{array} \right) $$ имеет вид: $$ L(\psi)=\left( \begin{array}{cccc} \mathrm{ch}\psi & \mathrm{sh}\psi & 0 & 0 \\ \mathrm{sh}\psi & \mathrm{ch}\psi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ Соответственно, у него есть обратное преобразование $L(-\psi)$: $$ L(-\psi)=\left( \begin{array}{cccc} \mathrm{ch}\psi & -\mathrm{sh}\psi & 0 & 0 \\ -\mathrm{sh}\psi & \mathrm{ch}\psi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ Положим, что для неподвижного наблюдателя наблюдается поворот вокруг некоторого вектора. В обобщенной форме этот поворот описывается матрицей: $$ L(\varphi)=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) $$ В действительности, конечно, у этой матрицы по 9 переменных коэффициентов и они есть функции от 3-х компонент вектора оси поворота. В данном случае точные их значения не важны.

Для подвижного наблюдателя объекты (те же самые) видны после применения преобразования $L(\psi)$. Поэтому, чтобы оценить как при преобразовании $\psi$ преобразуется угол $\varphi$, нужно выполнить преобразование от подвижного наблюдателя к неподвижному $L(-\psi)$, затем само преобразование $L(\varphi)$, и затем обратно преобразование к движущемуся наблюдателю: $$ L(\psi)L(\varphi)L(-\psi) $$ Раскрыв его в вышеприведенных матриxнsх представлениях этих операторов, получим результат: $$ \left( \begin{array}{cccc} \mathrm{ch}^2\psi-a_{11}\mathrm{sh}^2\psi & a_{11}\mathrm{ch}\psi\mathrm{sh}\psi-\mathrm{ch}\psi\mathrm{sh}\psi & a_{11}\mathrm{sh}\psi & a_{13}\mathrm{ch}\psi \\ \mathrm{ch}\psi\mathrm{sh}\psi-a_{11}\mathrm{ch}\psi\mathrm{sh}\psi & a_{11}\mathrm{ch}^2\psi-\mathrm{sh}^2\psi & a_{12}\mathrm{ch}\psi & a_{13}\mathrm{ch}\psi \\ -a_{21}\mathrm{sh}\psi & a_{21}\mathrm{ch}\psi & a_{22} & a_{23} \\ -a_{31}\mathrm{sh}\psi & a_{31}\mathrm{ch}\psi & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) $$ Здесь левый верхний коэффициент задает (или определяет) гиперболический косинус быстроты получающегося преобразования. В случае если $a_{11}\neq 1$ этот коэффициент не равен единице. То есть получающийся оператор не является оператором только лишь поворота.

Матричное представление преобразований, хотя и не выделяет явно полярные и аксиальные величины, но тем не менее вполне доступно и тем, кого могут затруднить гиперкомплексные операторы и параметры функций.

В преобразовании поворота $L(\varphi)$ значение $a_{11}$ для преобразования вокруг оси $x$ равно 1: $$ L(\varphi)=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos\varphi_x & -\sin\varphi_x \\ 0 & 0 & \sin\varphi_x & \cos\varphi_x \end{array} \right) $$ Этот оператор коммутирует с преобразованием буста вдоль оси $x$, поэтому в итоговом результате нет дополнительного движения. Значение $a_{11}$ не равно 1 если вектор поворота $\varphi$ содержит компоненты вдоль осей $y$ или $z$.

Таким образом, в кинематической индукции можно убедиться с использованием совсем простых операторов.

Точно так же можно убедиться в преобразовании не только поворота, но и буста. Положим, что преобразуемым для композиционного преобразования выбрано преобразование движения, а именно: $$ L(\alpha)=\left( \begin{array}{cccc} \mathrm{ch}\alpha & \mathrm{sh}\alpha & 0 & 0 \\ \mathrm{sh}\alpha & \mathrm{ch}\alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ Рассмотрев преобразование этого оператора $$ L(\psi)L(\alpha)L(-\psi) $$ несложно убедиться, что результат равен $L(\alpha)$. Поскольку векторы параметров этих операторов сонаправлены (неважно, вдоль или против), то такое произведение означает лишь сложение параметров, как если бы было $$ \psi+\alpha-\psi=\alpha $$ Но, если вктор $\alpha$ не сонаправлен вектору $\psi$ то все выглядит сложнее.

Пусть векторный параметр $\alpha$ направлен вдоль оси $y$: $$ L(\alpha)=\left( \begin{array}{cccc} \mathrm{ch}\alpha & 0 & \mathrm{sh}\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \mathrm{sh}\alpha & 0 & \mathrm{ch}\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ В этом случае произведение $$ L(\psi)L(\alpha)L(-\psi) $$ равно: $$ \left( \begin{array}{cccc} (\mathrm{ch}\alpha-1)\mathrm{ch}^2\psi+1 & (1-\mathrm{ch}\alpha)\mathrm{ch}\psi\mathrm{sh}\psi & \mathrm{sh}\alpha\mathrm{ch}\psi & 0 \\ (\mathrm{ch}\alpha-1)\mathrm{ch}\psi\mathrm{sh}\psi & (1-\mathrm{ch}\alpha)\mathrm{ch}^2\psi+\mathrm{ch}\alpha & \mathrm{sh}\alpha\mathrm{sh}\psi & 0 \\ \mathrm{sh}\alpha\mathrm{ch}\psi & -\mathrm{sh}\alpha\mathrm{sh}\psi & \mathrm{ch}\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ Здесь появляется антисимметричная составляющая, отвечающая за поворот, содержащийся в операторе результата. Кроме него, конечно, присутствует также и движение. Левый верхний коэффициент матрицы $$ (\mathrm{ch}\alpha-1)\mathrm{ch}^2\psi+1 $$ видимо, никогда не сможет стать равным единице если $\alpha\neq 0$, поэтому результат не сможет быть чисто оператором поворота.

Кинематическая индукция, оглавление