Оценка индукции угла

Для оценивания величины угла, добавляемого к преобразованию систему координат кинематической индукцией, вернемся к основной формуле преобразования полярной и аксиальной частей оператора преобразования: $$\psi'_p=\gamma\left(\psi_p+\frac{1}{c}[v,\psi_a]\right)- \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\frac{(\psi_p,v)v}{c^2}$$ $$\psi'_a=\gamma\left(\psi_a-\frac{1}{c}[v,\psi_p]\right)- \frac{\gamma^2}{\gamma+1}\frac{(\psi_a,v)v}{c^2}$$ здесь $\psi_p$ и $\psi_a$ - векторные составляющие $\psi$ как половинного аргумента оператора преобразования системы координат, $v$ - вектор движения (скорость), $c$ - скорость света и $\gamma$ - Лоренц-фактор буста.

Здесь же обозначены через $(x,y)$ скалярное произведение 3-мерных векторов и $[x,y]$ - векторное произведение 3-мерных векторов.

Соответственно, из этой формулы вытекает, что если в качестве начального угла поворота $\psi_a$ брать нулевой вектор, то при кинематической индукции индуцируется угол порядка $$\psi'_a=-\gamma[v/c,\psi_p]$$ здесь $\psi'_a$ - половинный индуцируемый угол в радианах, и $\psi_p$ - половинная быстрота, связанная с исходной скоростью $$\mathrm{ch}\psi_p=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$$ здесь $u$ - скорость в исходной системе отсчета и $v$ - скорость преобразования.

Такая оценка груба и годится лишь для начального условия $$\psi_a=0$$ По этой же схеме, предположив что объект в исходной СО покоится, т.е. $$\psi_p=0$$ но при этом повернут $$\psi_a\neq 0$$ можно оценить скорость индукции (или индуцированную скорость) как $$\psi'_p=\gamma[v/c,\psi_a]$$ здесь $\psi_a$ - угол поворота в радианах.

Кинематическая индукция, оглавление