Бикомплексные числа образуются удвоением комплексных чисел мнимой единицей,
умножающейся коммутативно и равной в квадрате -1. В результате в алгебре
бикомплексных чисел получаются 4 компоненты. Но следует ли из этого, что они
описывают 4-мерный мир?
Если описать в компонентах то бикомплексные числа могут быть обозначены как
$$
x=x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3
$$
При этом закон произведения мнимых единиц прост:
$$
\begin{array}{c}
I^2=-1 \\
i^2 = -1 \\
Ii = iI
\end{array}
$$
Здесь неявно опущен тот факт, что произведение чисел алгебры дает числа той же
алгебры и справа стоят конечно не действительные -1, а неявно опущены остальные
нули.
Можно найти матричное представление и полимодуль бикомплексного числа:
$$
\begin{array}{c}
x_0^4+x_1^4+x_2^4+x_3^4-2x_0^2x_1^2+2x_0^2x_3^2+2x_0^2x_2^2+ \\
2x_1^2x_2^2+2x_1^2x_3^2-2x_2^2x_3^2+8x_0x_1x_2x_3
\end{array}
$$
Эту форму еще упоминают как метрику Бервальда-Моора.
Когда мы используем слово "метрика" применительно, например, к
пространству-времени, то вписываем в метрику те величины, которые мы относим к
координатам. К примеру, метрику пространства-времени в теории относительности
образует:
$$
c^2t^2-x^2-y^2-z^2
$$
При этом в метрику входят именно координаты. Но не входят углы поворотов,
которые могут быть у тела. В одной и той же точке пространства тело может не
только находиться. Оно может там находиться и плюс к тому быть повернутым. Но в
метрику углы не входят. Дело в том, что в метрику не входят те степени свободы,
которые не являются координатами. Но размерность пространства, как количество
координат входящих в метрику, определяется именно координатами.
Если обратиться к алгебре бикватернионов
$$
x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3+Ix_4+ix_5+jx_6+kx_7
$$
то она весьма уверенно описывает наш мир, пространства-времени теории
относительности. В качестве скалярной, или временной оси выглядит координата
$x_0$, в качестве пространственных полярных осей $x_1$, $x_2$, $x_3$/ Здесь идет
речь о представлении в бикватернионах 4-векторов.
Если рассматривать полимодуль бикватерниона такой сокращенной в компонентах
конструкции, то он имеет вид четной степени от метрики теории относительности
$$
c^2t^2-x^2-y^2-z^2
$$
или
$$
x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2
$$
если записать в компонентах.
Оставшиеся компоненты
$$
Ix_4++ix_5+jx_6+kx_7
$$
играют роль внутренних степеней свободы.
Если 4-вектор образуется из спиноров произведением
$$
x=\xi\bar{\xi}^*
$$
то он при преобразованиях Лоренца преобразуется как
$$
x\rightarrow e^{\psi/2}\xi\bar{\xi}^*e^{\bar{\psi}^*/2}
$$
Если в качестве начального 4-вектора берется единичный (например, скорость тела
покоящегося относительно наблюдателя), то любой 4-вектор (той же физической
величины) может быть получен из него подобающим преобразованием
$$
x\rightarrow e^{\psi/2}1e^{\bar{\psi}^*/2}
$$
Нюанс в том, что произведение вида
$$
e^{\psi/2}e^{\bar{\psi}^*/2}
$$
вегда образует 4-вектор, содержащий лишь скалярную и полярную части и 4-вектор
удовлетворяет правилу сопряженности:
$$
\bar{x}^*=x
$$
И у 4-векторо в бикватернионном представлении при оперировании преобразованиями
Лоренца нет других компонентов.
В таком представлении компоненты при единицах
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & Ii & Ij & Ik
\end{array}\right)
$$
выглядят координатами, а при единицах
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
I & i & j & k
\end{array}\right)
$$
степенями свободы.
Если обратиться обратно к бикомплексным числам, то их конструкция в виде
$$
x_0+Iix_1+Ix_2+ix_3
$$
выглядит как подалгебра алгебры бикватернионов, как выделенное подмножество
компонент. В действительности бикомплексные числа не только выглядят как, но и
являются подалгеброй алгебры бикватернионов и из компоненты, будучи взяты
совместно, образуют подпространство пространства образуеомго бикватернионами.
При таком усечении или выделении из бикватернионов в подпространство
бикомплексных чисел попадают две координаты при единицах
$$
\left(
\begin{array}{cc}
1 & Ii
\end{array}
\right)
$$
и две компоненты степеней свободы при единицах
$$
\left(
\begin{array}{cc}
I & i
\end{array}
\right)
$$
И при сопоставлении компонент бикомплексных чисел координатам
пространства-времени им остается лишь2 мерный вариант из одной координаты
времени и одной пространственной.
То есть в отношении физических величин бикомплексные числа выглядят как
пространственно одномерные с временем, но не четырехмерные.
Здесь проводится граница, по меньшей мере одна, между размерностью алгебры и
размерностью пространства, к описанию элементов которого она привлекается.
Последняя четверка компонент в бикватернионах при моделировании 4-векторов
меняет знак при смене выбранной ориентирования осей векторного произвдения на
противоположные направления с левого на правое и обратно. Они играют роль
всевдоскаляра и всевдовекторов. Поскольку они не могут быть воспроизведены
физически, путем прикладывания к объекту какого-то материально выполненного или
воспроизведенного эталона, они не входят в список координат. Соответственно,
видится логичным не считать пространственными координатами и последние две
компоненты бикомплексного числа.
Рассмотренное ранее продолжение принципа подвижности Гельмгольца никак не мешает
оставшимся двум координатам образовывать одномерное плюс время пространство с
метрикой
$$
(x_0^2-x_1^2)^2
$$
В применении гиперкомплексных алгебр к описанию пространствства не все
компоненты алгебр могут быть сопоставлены координатным осям, часть может
означать лишь степени свободы. И в таком сопоставлении алгебры пространству
может потребоваться дополнительный критерий отделения координат пространства от
степеней свободы.
В 2005 году вышел номер журнала "Гиперкомплексные числа в геометрии и физике", в котором вышла статья Павлова и Гарасько "Понятия расстояния и модуля скорости в линейных финслеровых пространствах". В ней авторы пришли к тому же выводу, а именно что в использованной метрике Бервальда-Моора в отношении преобразований Лоренца алгебра бикомплексных чисел ведет себя как описывающая одномерный плюс время мир.
Ссылки
Матричное
представление 4x4 бикомплексных чисел
О
принципе подвижности Гельмгольца
Павлов Д.Г. Гарасько Г.И. Понятия расстояния и модуля скорости
в линейных финслеровых пространствах
// Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. 2005. № 1(3).
Комментариев нет:
Отправить комментарий