О принципе подвижности Гельмгольца

В своей статье "О фактах, лежащих в основаниях геометрии" Герман Гельмгольц рассматривает следствие из предложенного им принципа максимальной подвижности. Мне видится, что сделанный им вывод можно продолжить.

Обратимся к статье. В ней Гельмгольц путем рассуждений формулирует принцип максимальной подвижности. Это декларация возможности тела перемещаться как поступательно, так и вращательно, не теряя формы, в любом направлении и вокруг любой оси. Под сохранением формы понимается возможность выбрать любое число точек принадлежащих телу с сохранением при подвижности их относительного расположения. Путем последовательных рассуждений Гельмгольц приходит к математической формулировке.

Путем рассмотрения всех возможностей преобразовать координаты и систему отсчета он приходит к тому, что для любой точки может быть найдена такая система координат, что точка заданная в ней, имеет определенный радиус-вектор. Он рассматривает 3-мерное пространство для иллюстрации. Причем система координат и радиус-вектор могут быть выбраны такими, что при рассмотрении движения малое смещение этой точки ортогонально самому радиус-вектору.

Далее он выражает условие ортогональности в виде скалярного произведения: $$ Xdx+Ydy+Zdz=0 $$ Здесь $(\begin{array}{ccc} X & Y & Z \end{array})$ - координата точки и $(\begin{array}{ccc} dx & dy & dz \end{array})$ - малое смещение при движении. В продолжении обсуждения статьи Римана "О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии" Гельмгольц неявно не ограничивает знакопостоянность или знакопеременность использованного скалярного произведения.

Рассмотрев полученную форму скалярного произведения, Гельмгольц переходит к рассмотрению её как дифференциала: $$ Xdx+Ydy+Zdz=d(X^2+Y^2+Z^2) $$ Поскольку это выражение должно быть равно нулю, он делает вывод об инвариантности формы $$ X^2+Y^2+Z^2=\mathrm{inv} $$ В силу того, что в исходном скалярном произведении вектор координаты и вектор малого приращения заданы линейно, то есть в первом порядке, следует, что получается инвариантная квадратичная форма. Такая форма задает метрику пространства.

И ключевой вывод, который делает Гельмгольц, является то, что принцип максимальной подвижности приводит к необходимости рассматривать пространства с квадратичной метрикой.

Видится, что сделанный вывод корректный, но не полный. Если есть некая форма от координат $$ f(X,Y,Z) $$ которая при преобразованиях сохраняет свое значение инвариантным, то можем рассматривать её как константу для заданных координат. Если есть константа, то любая функция от константы также будет константой: $$ g(\mathrm{const})=\mathrm{const} $$ Соответственно, мы можем рассматривать любую функцию от метрической формы $$ g(f(X,Y,Z)) $$ и она также будет инвариантна, если $f$ является инвариантом.

Рассматривая дифференциал от такой функции, получим: $$ dg(f(X,Y,Z))=g'df(X,Y,Z) $$ Поскольку справа дифференциал равен нулю, получаем что и $dg=0$. Полученная справа форма есть также скалярное произведение малого приращения $$ (\begin{array}{ccc} dx & dy & dz \end{array}) $$ на $$ (\begin{array}{ccc} g'X & g'Y & g'Z \end{array}) $$ Поскольку функция $g$ есть функция от инварианта, она относительно преобразований является констнтой. Точно также константой является $g'$ поскольку эта производная также является функцией от инварианта.

То есть принцип максимальной подвижности Гельмгольца распространяется не только на пространства, имеющие квадратичную метрику, но и на любые пространства с метрикой, основанной на квадратичной в виде функции.

В частности, это могут быть также пространства с метрикой в виде $$ \begin{array}{c} (X^2+Y^2+Z^2)^2 \\ (c^2t^2-x^2-y^2-z^2)^4 \end{array} $$ Формально говоря, пространства основанные на квадратичной метрике не являются пространствами с квадратичной метрикой, и потому должны относиться к финслеровым пространствам с финслеровой геометрией.

Рассматривая бикватернионы Гамильтона в качестве базовой алгебры для алгебраизации геометрии теории относительности, легко заметить, что в них полимодуль является, вообще говоря, не формой 2-го, а 8-го порядка. И именно такая форма является инвариантом при произвольных ортогональных преобразованиях, необязательно относящихся к группе Лоренца.

И простым выводом, который может быть сделан, является вывод о непригодности таких алгебр для описания пространств с метрикой используемой в теории относительности, поскольку она хоть и знакопеременна, но квадратична. В действительности, если рассматривать в качестве пространства лишь сокращенную часть бикватернионов, а именно $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3 $$ то для таких бикватернионов полимодуль упрощается до $$ (x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2)^4 $$ То есть инвариантная форма есть форма, не квадратичная, но основанная на квадратичной. И поэтому, продолжая принцип подвижности Гельмгольца, можем говорить о сохранении максимальной подвижности и в таких пространствах, равно как и о пригодности инвариантной метрики для СТО: $$ s^8=(c^2t^2-x^2-y^2-z^2)^4 $$ Именно в таком варианте отпадает необходимость говорить об отрицательных квадратах интервалов. Разумеется, что квадрат числа, являющегося действительным числом, не может быть отрицательным.

Обе статьи, и Римана и Гельмгольца, можно найти в сборнике "об основаниях геометрии" под редакцией Нордена.