Эйнштейн и перпендикуляры

В брошюре "О специальной и общей теории относительности", вышедшей в Москве в 1922 году, А. Эйнштейн указывает экспериментальный способ измерения координат:

"Последняя (декартова система координат) состоит из трех взаимно перпендикулярных, твердых плоских стен, связанных с твердым телом. Описание места какого-либо события заключается (в существенных чертах) в указании длины трех перпендикуляров или координат x, y, x, которые могут быть из него опущены на три плоских стенки системы."

Далее он указывает, что физический смысл обозначения места всегда должен быть понимаем в согласии с этим разъяснением.

Предположим, что мы чуть-чуть проварьировали задачу и интересуемся что развалится в предложенных построениях. А именно, добавим еще одно измерение. Пусть теперь пространство задается не осями x, y, z, а осями x, y, z и w.

В такой системе снова поинтересуемся, как измерить к примеру координату x. Если ранее ось x была перпендикулярна к плоскости yz, то теперь это не совсем так. То есть она конечно перпендикулярна, но она также перпендикулярна и к плоскостям zw и wy. На какую же из плоскостей надо опускать перпендикуляр?

Дело в том, что в случае определения перпендикулярности вектора к некоему подпространству, а в данном случае это плоскость, вектор перпендикулярен к подпространству если он перпендикулярен к любому из векторов, принадлежащих этому подпространству.

При переходе к 4-мерному пространству предложенная система определения координат не годится. В случае же попытки заменить слово перпендикуляр на нормаль к поверхности, в данном случае к плоскости, мы получаем еще больше проблем. Во-первых, для построения нормали нужно векторное произведение двух неколлинеарных векторов, принадлежащих плоскости. Во-вторых, результатом векторного произведения является не вектор, а псевдовектор, направление которого зависит от воли наблюдателя выбрать правую или левую систему векторов. И в-третьих, векторное произведение существует либо в 3-мерном, либо в 7-мерном пространстве. По крайней мере в том виде, когда векторное произведение двух векторов дает другой вектор. Оно может существовать и в 4-мерном пространстве-времени, но его результатом уже является не вектор, а бивектор. А он уж как-то не очень подходит в качестве оси координат.

И, для решения проблемы, нужно не придумывать чепуху, а использовать обычные методы. А именно, опускать перпендикуляр не на плоскость, а на непосредственно ось координат. При этом под перпендикуляром следует понимать равенство нулю скалярного произведения опущенного перпендикуляра с единичным вектором этой оси.

Ссылки

Эйнштейн А. О специальной и общей теории относительности. М.: Госиздат, 1922