Если есть произведение сумм квадратов целых чисел, то оно представимо также как сумма квадратов целых чисел. Какие еще могут быть аналогичные соотношения? Попробуем разобраться.
Простейшее доказательство исходного утверждения состоит в использовании комплексных чисел вида:
$$
x=x_0+ix_1
$$
$$
i^2=-1
$$
и того факта, что произведение двух целых чисел также есть целое число.
Для комплексного числа его модуль равен
$$
|x|^2=x_0^2+x_1^2
$$
Поскольку квадрат модуля произведения комплексных чисел равен произведению квадратов модулей этих чисел, исходное утверждение доказано.
Итак, в качестве опорных утверждений были использованы три:
1) о произведении целых чисел
2) о произведении квадратов модулей
3) использование алгебры, в которой модуль определяется полиномом второй степени
Первый пункт не зависит от используемой гиперкомплексной алгебры. Второй пункт, собственно, и составляет исходну. формулировку и вытекает из третьего.
Таким образом, выбрав алгебры, в которых модуль определяется полиномом второй степени, мы можем составить аналоги исходного утверждения.
Итак, в алгебре комплексных чисел
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+ix_1 \\
|x|^2=x_0^2+x_1^2
\end{array}
$$
Из этого следует, что произведение сумм двух квадратов представимо суммой двух квадратов.
В алгебре кватернионов
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3 \\
|x|^2=x_0^2+x_1^2+x_3^2+x_3^2
\end{array}
$$
Получаем утверждение, что произведение сумм четырех квадратов представимо суммой четырех квадратов.
В алгебре октав
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+ix_1+jx_2+kx_3+Ex_4+Ix_5+Jx_6+Kx_7 \\
|x|^2=x_0^2+x_1^2+x_3^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2
\end{array}
$$
Получаем утверждение что произведение сумм восьми квадратов представимо суммой восьми квадратов.
В алгебре паракомплексных чисел
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+ix_1 \\
i^2=1 \\
|x|^2=x_0^2+x_1^2
\end{array}
$$
Получаем утверждение, что произведение разности квадратов представимо разностью квадратов.
В алгебре кокватернионов
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+Ijx_1+Ijx_2+kx_3 \\
I^2=-1 \\
i^2=j^2=k^2=-1 \\
|x|^2=x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2
\end{array}
$$
Это выражение мы можем сгруппировать по-разному. Можно как сумму разностей:
$$
|x|^2=(x_0^2-x_1^2)+(x_3^2-x_2^2)
$$
Это дает утверждение, что произведение суммы разностей квадратов представимо как сумма разностей квадратов.
И можно как разность сумм:
$$
|x|^2=(x_0^2+x_3^2)-(x_1^2+x_2^2)
$$
Это дает утверждение, что произведение разностей сумм квадратов представимо как разность сумм квадратов.
Другие алгебры, видимо, имеют полимодули более высоких порядков, чем 2. Конечно, в приведенных рассуждениях нет оснований для ограничения списка соотношений для квадратов.
Нашел еще одну алгебру, сплит-октавы, подходящую для сумм и разностей квадратов:
https://thedarkaugust.blogspot.com/2023/08/blog-post_16.html
Комментариев нет:
Отправить комментарий