Если кокватернионы в некотором смысле аналогичны кватернионам, то возникает вопрос - есть ли такая алгебра, которая соотносится с октавами так же, как кокватернионы соотносятся с кватернионами? Да, есть, такая алгебра получила общеупотребимое название сплит-октавы. И какова она, попробуем разобраться.
Для образования сплит-октав проведем некоммутативное удвоение кокватернионов. Так же, как октавы получаются некоммутативным удвоением кватернионов. Обозначим дополнительную единицу $e_4$. И определим, что она умножается некоммутативно на единицы $i$, $j$, $k$:
$$
\begin{array}{c}
ij=k=-ji \\
ie_4=e_5=-e_4i \\
je_4=e_6=-e_4j \\
ke_4=e_6=-e_4k \\
e_5k=e_6=-ke_5 \\
e_6i=e_7=-ie_7 \\
e_7j=e_5=-je_7
\end{array}
$$
И, если исходный кокватернион имел вид
$$
x=x_0+Iix_1+Ijx_2+kx_3
$$
то сплит-октава получается такой:
$$
x=x_0+Iix_1+Ijx_2+kx_3+e_4x_4+Ie_5x_5+Ie_6x_6+e_7x_7
$$
Здесь единицы $i$, $j$, $k$, $e_4$, $e_5$, $e_6$ и $e_7$ некоммутативны по отношению друг к другу, а единица $I$ коммутирует со всеми и
$$
I^2=-1
$$
Сплит-октавы также, как и октавы, неассоциативны, но альтернативны. Альтернативность сплит-октав определяется тем, что в них выполняются соотношения альтернативности:
$$
\begin{array}{c}
(aa)b = a(ab) \\
(ab)a = a(ba) \\
(ba)a=b(aa)
\end{array}
$$
Если действительную часть сплит-октавы обозначить скалярной, а остальную векторной, то:
$$
x=x_s+x_v
$$
Если есть две сплит-октавы $x$ и $y$, то в них части $x_s$ и $y_s$ коммутируют с остальными $x_v$ и $y_v$, поэтому условия альтернативности распространяются, вообще говоря, на их векторные части.
Для сплит-октав алгебраическое сопряжение задается линейной сменой знаков у мнимых компонент:
$$
\bar{x}=x_s-x_v=x_s+\bar{x}_v
$$
Произведение сплит-октав на сопряженную ей:
$$
\begin{array}{c}
(x_s+x_v)(x_s-x_v)= \\
=x_s^2+x_sx_v-x_sx_v-x_vx_v
\end{array}
$$
Само выражение $x_vx_v$ в силу того, что все входящие в него мнимые единицы антикоммутируют, есть просто сумма квадратов компонент с знаком в зависимости от величины квадрата соответствующей мнимой единицы.
И произведение сплит-октавы на сопряженную ей имеет вид:
$$
x\bar{x}=\bar{x}x=x_0^2-x_1^2-x_2^2+x_3^2+x_4^2-x_5^2-x_6^2+x_7^2
$$
Соответственно, продолжая тему о суммах квадратов и проверив что
$$
(xy)(\overline{xy})=(xy)(\overline{y}\;\overline{x})
$$
в силу альтернативности не зависит от расстановки скобок, должно быть равно
$$
(xy)(\overline{xy})=x(y\bar{y})\bar{x}=|x|^2|y|^2
$$
Соответственно, получаем еще два утверждения в дополнение к списку сумм квадратов.
Квадрат модуля сплит-октавы мы можем представить как:
$$
(x_0^2+x_3^2+x_4^2+x_7^2)-(x_1^2+x_2^2+x_5^2+x_6^2)
$$
Откуда получаем, что произведение разностей сумм четырех квадратов представимо разностью сумм четырех квадратов.
Также квадрат модуля сплит-октавы можем представить как:
$$
(x_0^2-x_1^2)+(x_3^2-x_2^2)+(x_4^2-x_6^2)+(x_7^2-x_5^2)
$$
Откуда получаем, что произведение сумм четырех разностей квадратов представимо как сумма четырех разностей квадратов.
Комментариев нет:
Отправить комментарий