Произведения кокватернионов

Какие есть произведения в алгебре кокватернионов и как они выглядят? Попробуем разобраться.

Скалярнгое, псевдоскалярное и векторное произведения, несмотря на кажущиеся различия между собой, не являются отдельными произведениями из ряда, который можно дополнять неограниченно. Это часть одного взаимного отношения. А именно, если есть два гиперкомплексных числа $x$ и $y$, то их взаимное отношение есть алгебраическое произведение $$ x\bar{y} $$ Здесь $\bar{y}$ - алгебраическое сопряжение. И скалярное, псевдоскалярное и векторное произвдения есть отдельные компоненты такого произведения.

Скалярное произведение есть действительная часть взаимного отношения: $$ \mathrm{Re}(\mathrm{Scl}(x\bar{y})) $$ Псевдоскалярное произведение есть мнимая часть от скалярной части: $$ \mathrm{Im}(\mathrm{Scl}(x\bar{y})) $$ И векторное произведение есть векторная часть: $$ \mathrm{Vec}(x\bar{y}) $$ Поэтому раскроем произведение $x\bar{y}$ в компонентах, учитывая, что в них алгебраическое сопряжение для $$ y=y_0+Iiy_1+Ijy_2+ky_3 $$ равно: $$ y=y_0-Iiy_1-Ijy_2-ky_3 $$ $$ \begin{array}{c} (x_0+Iix_1+Ijx_2+kx_3)\cdot \\ \cdot(y=y_0-Iiy_1-Ijy_2-ky_3) = \\ x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2+x_3y_3 + \\ + Ii(-x_0y_1+x_1y_0-x_2y_3+x_3y_2) + \\ + Ij(-x_0y_2+x_1y_3+x_2y_0-x_3y_1) + \\ + k(-x_0y_3+x_1y_1-x_2y_1+x_3y_0) \end{array} $$ Теперь разберем это произведение на отдельные его части. Компонента при действительной единице есть скалярное произведение: $$ x_0y_0-x_1y_1-x_2y_2+x_3y_3 $$ Поскольку в алгебре кокватернионов нет отдельной мнимой единицы $I$, то в ней отсутствует псевдоскалярное произведение. И векторной части произведения взаимного отношения соответствует векторное произведение. Оно состоит из двух компонент при полярных единицах $Ii$ и $Ij$ и одной компоненты при аксиальной единице $k$. $$ \begin{array}{c} Ii(-x_0y_1+x_1y_0-x_2y_3+x_3y_2) + \\ + Ij(-x_0y_2+x_1y_3+x_2y_0-x_3y_1) + \\ + k(-x_0y_3+x_1y_1-x_2y_1+x_3y_0) \end{array} $$ При нулевых скалярных частях векторное произведение выглядит более знакомым образом: $$ \begin{array}{c} Ii(x_3y_2-x_2y_3) + \\ + Ij(x_1y_3-x_3y_1) + \\ + k(x_1y_1-x_2y_1) \end{array} $$ В отличие от алгебры бикватернионов в кокватернионах мы не можем преобразовать полярный вектор в аксиальный и наоборот путем умножения на псевдоскалярную единицу, поскольку в кокватернионах (как и в кватернионах) её попросту нет.